Chủ đề này có 3 trả lời

[Mawatari Tanaka]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=\frac{x^2}{(x+y)^2}+\frac{y^2}{(y+z)^2}+\frac{z}{z+x}.$$

[Le Tuan Canhh]

$P=\frac{1}{(1+\frac{y}{x})^{2}}+\frac{1}{(1+\frac{z}{y})^{2}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z}$ $\rightarrow abc=1$ và $a;b;c>0$

Giả sử $c\leq b\leq a\rightarrow 1=abc\geq c \Rightarrow 1\geq c \Rightarrow ab\geq 1$

Lúc này $P=\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{1+c}$

Ta có:$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b})^{2}\geq \frac{1}{2}(\frac{2}{1+\sqrt{ab}})^{2}$    ( với $ab\geq 1$ )

BĐT phụ Chứng Minh chắc đơn giản òi

Suy ra $P\geq \frac{2}{(1+\frac{1}{\sqrt{c}})^{2}}+\frac{1}{1+c}$

Đặt $x=\sqrt{c}$  ( với $x\geq 1$)

Xét hàm $f(x)=\frac{2}{(1+\frac{1}{x})^{2}}+\frac{1}{1+x}=\frac{2x^{2}}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{1+x}$ 

$\rightarrow f'(x)=\frac{2x(x-1)(2x^{3}+x^{2}+2x-1)}{(x+1)^{3}(1+x^{2})^{2}}$

PT bậc 3 ở f'(x) có nghiệm hơi xấu; với f'(x) =0 có 3 nghiệm là 0 ; 1; 0,376....

Xét sự biến thiên của hàm số thì hàm đồng biến trên (0;0,376...) và nghịch biến trên ( 0,376...;1)

Nên $P\geq minf(x)=f(1)=1$

Dấu "=" xảy ra khi $ x=y=z$

[chuyenndu]

$P=\frac{1}{(1+\frac{y}{x})^{2}}+\frac{1}{(1+\frac{z}{y})^{2}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z}$ $\rightarrow abc=1$ và $a;b;c>0$

Giả sử $c\leq b\leq a\rightarrow 1=abc\geq c \Rightarrow 1\geq c \Rightarrow ab\geq 1$

Lúc này $P=\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{1+c}$

Ta có:$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b})^{2}\geq \frac{1}{2}(\frac{2}{1+\sqrt{ab}})^{2}$    ( với $ab\geq 1$ )

BĐT phụ Chứng Minh chắc đơn giản òi

Suy ra $P\geq \frac{2}{(1+\frac{1}{\sqrt{c}})^{2}}+\frac{1}{1+c}$

Đặt $x=\sqrt{c}$  ( với $x\geq 1$)

Xét hàm $f(x)=\frac{2}{(1+\frac{1}{x})^{2}}+\frac{1}{1+x}=\frac{2x^{2}}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{1+x}$ 

$\rightarrow f'(x)=\frac{2x(x-1)(2x^{3}+x^{2}+2x-1)}{(x+1)^{3}(1+x^{2})^{2}}$

PT bậc 3 ở f'(x) có nghiệm hơi xấu; với f'(x) =0 có 3 nghiệm là 0 ; 1; 0,376....

Xét sự biến thiên của hàm số thì hàm đồng biến trên (0;0,376...) và nghịch biến trên ( 0,376...;1)

Nên $P\geq minf(x)=f(1)=1$

Dấu "=" xảy ra khi $ x=y=z$

vai trò của x,y,z đâu có như nhau nên không thể giả sử như này

[Le Tuan Canhh]

vai trò của x,y,z đâu có như nhau nên không thể giả sử như này

Hừm cảm ơn bạn đã cho mình biết cái sai to đùng đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 20-09-2022 - 18:24