Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=\frac{x^2}{(x+y)^2}+\frac{y^2}{(y+z)^2}+\frac{z}{z+x}.$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x^2}{(x+y)^2}+\frac{y^2}{(y+z)^2}+\frac{z}{z+x}.$
#1
Đã gửi 18-09-2022 - 09:30
#2
Đã gửi 19-09-2022 - 19:54
$P=\frac{1}{(1+\frac{y}{x})^{2}}+\frac{1}{(1+\frac{z}{y})^{2}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$
Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z}$ $\rightarrow abc=1$ và $a;b;c>0$
Giả sử $c\leq b\leq a\rightarrow 1=abc\geq c \Rightarrow 1\geq c \Rightarrow ab\geq 1$
Lúc này $P=\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{1+c}$
Ta có:$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b})^{2}\geq \frac{1}{2}(\frac{2}{1+\sqrt{ab}})^{2}$ ( với $ab\geq 1$ )
BĐT phụ Chứng Minh chắc đơn giản òi
Suy ra $P\geq \frac{2}{(1+\frac{1}{\sqrt{c}})^{2}}+\frac{1}{1+c}$
Đặt $x=\sqrt{c}$ ( với $x\geq 1$)
Xét hàm $f(x)=\frac{2}{(1+\frac{1}{x})^{2}}+\frac{1}{1+x}=\frac{2x^{2}}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{1+x}$
$\rightarrow f'(x)=\frac{2x(x-1)(2x^{3}+x^{2}+2x-1)}{(x+1)^{3}(1+x^{2})^{2}}$
PT bậc 3 ở f'(x) có nghiệm hơi xấu; với f'(x) =0 có 3 nghiệm là 0 ; 1; 0,376....
Xét sự biến thiên của hàm số thì hàm đồng biến trên (0;0,376...) và nghịch biến trên ( 0,376...;1)
Nên $P\geq minf(x)=f(1)=1$
Dấu "=" xảy ra khi $ x=y=z$
- ThienDuc1101 yêu thích
Dư Hấu
#3
Đã gửi 20-09-2022 - 14:32
$P=\frac{1}{(1+\frac{y}{x})^{2}}+\frac{1}{(1+\frac{z}{y})^{2}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$
Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z}$ $\rightarrow abc=1$ và $a;b;c>0$
Giả sử $c\leq b\leq a\rightarrow 1=abc\geq c \Rightarrow 1\geq c \Rightarrow ab\geq 1$
Lúc này $P=\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{1+c}$
Ta có:$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b})^{2}\geq \frac{1}{2}(\frac{2}{1+\sqrt{ab}})^{2}$ ( với $ab\geq 1$ )
BĐT phụ Chứng Minh chắc đơn giản òi
Suy ra $P\geq \frac{2}{(1+\frac{1}{\sqrt{c}})^{2}}+\frac{1}{1+c}$
Đặt $x=\sqrt{c}$ ( với $x\geq 1$)
Xét hàm $f(x)=\frac{2}{(1+\frac{1}{x})^{2}}+\frac{1}{1+x}=\frac{2x^{2}}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{1+x}$
$\rightarrow f'(x)=\frac{2x(x-1)(2x^{3}+x^{2}+2x-1)}{(x+1)^{3}(1+x^{2})^{2}}$
PT bậc 3 ở f'(x) có nghiệm hơi xấu; với f'(x) =0 có 3 nghiệm là 0 ; 1; 0,376....
Xét sự biến thiên của hàm số thì hàm đồng biến trên (0;0,376...) và nghịch biến trên ( 0,376...;1)
Nên $P\geq minf(x)=f(1)=1$
Dấu "=" xảy ra khi $ x=y=z$
vai trò của x,y,z đâu có như nhau nên không thể giả sử như này
#4
Đã gửi 20-09-2022 - 18:14
vai trò của x,y,z đâu có như nhau nên không thể giả sử như này
Hừm cảm ơn bạn đã cho mình biết cái sai to đùng đó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 20-09-2022 - 18:24
Dư Hấu
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh