Chủ đề này có 1 trả lời

[Le Tuan Canhh]

GHPT:$\left\{\begin{matrix} 2x^2+x+\sqrt{x+2}=2y^2+y+\sqrt{2y+1} & \\ x^2+2y^2-2x+y-2=0 & \end{matrix}\right.$

[HaiDangPham]

GHPT:$\left\{\begin{matrix} 2x^2+x+\sqrt{x+2}=2y^2+y+\sqrt{2y+1} & \\ x^2+2y^2-2x+y-2=0 & \end{matrix}\right.$

 

Đặt $u=\sqrt{x+2}$ và $v=\sqrt{2y+1}$. 

Phương trình thứ hai của hệ trở thành  

\begin{equation} v^4-v^2 = -2(u^2-3)^2+6 \end{equation}

Còn phương trình thứ nhất của hệ trở thành 

$4u^4-14u^2+2u+12=v^4-v^2+2v$

Thay $(1)$ vào phương trình trên biến đổi tương đương ta được 

\begin{equation} v-u=(u^2-3)(3u^2-4) \end{equation}

Bây giờ, viết lại $(1)$ dưới dạng khác là $(v^2-3)(v^2+2)=-2(u^2-3)^2$ rồi cộng với phương trình $(2)$ ta được 

$ (v-u)+(v^2-3)(v^2+2)=(u^2-3)\left[-2(u^2-3)+(3u^2-4) \right]$ 

hay 

\begin{equation}v-u=(u^2-3)(u^2+2)-(v^2-3)(v^2+2) \end{equation}

Vế phải của phương trình $(3)$ viết lại là 

$(u^2-3)(u^2+2)-(v^2-3)(v^2+2)=(u^4-u^2+6)-(v^4-v^2+6)=(u^2-v^2)(u^2+v^2-1)=(u-v)(u+v)(u^2+v^2-1)$ 

Do đó hoặc $u=v$  hoặc ta phải có 

\begin{equation} (u+v)(u^2+v^2-1)=-1 \end{equation} 

Từ $(1)$ suy ra

$(2v^2-1)^2=-8(u^2-3)^2+25$ 

Do đó $(u^2-3)^2 \leq \frac{25}{8}$, suy ra $u^2\geq 3- \sqrt{\frac{25}{8}}>1$. Như vậy ta có $u+v\geq 0$ và $u^2+v^2-1>0$.  Chứng tỏ phương trình $(4)$ vô nghiệm. 

 

Vì vậy $u=v$. Từ $(2)$ ta suy ra $u^2=3$ hoặc $u^2=\frac{4}{3}$. 

 

Trường hợp $u^2=v^2=3$ ta suy ra $x=1, y=1$.  

Trường hợp $u^2=v^2=\frac{4}{3}$ ta suy ra $x=\frac{-2}{3}, y=\frac{1}{6}$. 

 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $(x;y)$ là $\left(1; 1\right)$ và $\left( \frac{-2}{3}; \frac{1}{6} \right)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 23-06-2023 - 23:46