1 reply to this topic

[thanhng2k7]

Từ các chữ số 1,2,3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2022 chữ số thỏa mãn mỗi chữ số xuất hiện chẵn lần. 

[Nobodyv3]

Từ các chữ số 1,2,3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2022 chữ số thỏa mãn mỗi chữ số xuất hiện chẵn lần.

Có thể lập quan hệ truy hồi để giải, ở đây mình xin tiếp cận bài toán bằng cách dùng hàm sinh mũ:
Gọi $a_n$ là số các số có n chữ số thỏa đề bài, ta thấy :
Vì mỗi số chữ số xuất hiện chẵn lần nên ta có hàm sinh :
$A(x)=\sum_{n =0}^{\infty }a_{n}\frac{x^n}{n!}=\left ( \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \right )^{3}=\frac{1}{8}\left ( e^{3x}+e^{-3x}+3e^{2x}e^{-x}+3e^{x}e^{-2x} \right ) =\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( 3^{n}+(-3)^n+3+3(-1)^n \right )\frac{x^n}{n!}$
Vậy :
$a_n=\frac{3^{n}+(-3)^n+3+3(-1)^n}{8}$
Hơn nữa, để thỏa mãn đề bài thì $n$ phải chẵn do đó :
$a_n=\frac{2\cdot3^{n}+6}{8}=\boxed {\frac{3^n+3}{4}}\Rightarrow a_{2022}=\frac{3^{2022}+3}{4}$