Chủ đề này có 1 trả lời

[Math04]

Cho dãy số nguyên dương: $\left\{\begin{matrix} a_{1}>5 & & \\ a_{n+1}=\frac{(a_{n}-4)(a_{n}+5)}{2} & & \end{matrix}\right.$. Tìm tất cả số nguyên tố $p$ sao cho với mọi giá trị $a_{1}>5$ thì luôn tồn tại $n$ để $a_{n}$ chia hết cho $p$.

[Hoang72]

Với $p>5$, ta chọn $a_1$ sao cho $p\mid a_1-5$ thì dễ dàng quy nạp được $p\mid a_n - 5, \forall n\in\mathbb N^*$. Do đó không tồn tại $n$ để $p\mid a_n$.

Do đó ta chỉ cần xét $p\in \{2; 3; 5\}$. 

$\bullet$ $p=5$: Chọn $a_1\equiv 1\pmod 5$ thì $a_n\equiv 1\pmod 5,\forall n\in\mathbb N^*$, không thoả mãn.

$\bullet$ $p=3$: Chọn $a_1\equiv 2\pmod 3$ thì $a_n\equiv 2\pmod 3,\forall n\in\mathbb N^*$, không thoả mãn.

$\bullet$ $p=2$: Ta chứng minh giá trị này của $p$ thoả mãn.

Thật vậy, giả sử $a_n$ lẻ với mọi giá trị nguyên dương của $n$.

Đặt $u_n = a_n - 1$, khi đó $u_{n+1} = \frac{u_n^2 + 3u_n - 20}{2},\forall n\in\mathbb N^*$.

Thế thì $u_n$ luôn là số chẵn.

Xét hiệu $u_{n+1}-4 = \frac{(u_n-4)(u_n+7)}{2}= \frac{(u_{n-1}-4)(u_{n-1}+7)(u_n+7)}{2^2} = ... = \frac{(u_1-4)(u_1 + 7)(u_2+7)...(u_n+7)}{2^n},\forall n\in\mathbb N^*$.

Vì các số $u_1+7,u_2+7,...,u_n+7$ là lẻ nên $2^n\mid u_1-4,\forall n\in\mathbb N^*$

$\Rightarrow u_1=4\Rightarrow a_1 = 5$, vô lí.

Vậy $p=2$ là giá trị duy nhất thoả mãn yêu cầu bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 29-09-2022 - 17:02