Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng 1. Cạnh $a,b,c$ thỏa mãn:
$\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 26-09-2022 - 22:10
Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng 1. Cạnh $a,b,c$ thỏa mãn:
$\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 26-09-2022 - 22:10
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Do $a+b+c$=1 nên $1-a=b+c$ , $1-b=a+c$ , $1-c=b+a$
Khi đó $\frac{a}{1-a}=\frac{a}{b+c}$ , $\frac{b}{1-b}=\frac{b}{a+c}$ , $\frac{c}{1-c}=\frac{c}{b+a}$
Đặt $b+c=x$ , $c+a=y$ , $a+b=z$
Suy ra $a+b+c=\frac{x+y+z}{2}$
Khi đó $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} = \frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z})-\frac{3}{2}\geq 1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Suy ra $\Delta ABC$ đều
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
Do $a+b+c$=1 nên $1-a=b+c$ , $1-b=a+c$ , $1-c=b+a$
Khi đó $\frac{a}{1-a}=\frac{a}{b+c}$ , $\frac{b}{1-b}=\frac{b}{a+c}$ , $\frac{c}{1-c}=\frac{c}{b+a}$
Đặt $b+c=x$ , $c+a=y$ , $a+b=z$
Suy ra $a+b+c=\frac{x+y+z}{2}$
Khi đó $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} = \frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z})-\frac{3}{2}\geq 1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Suy ra $\Delta ABC$ đều
Em nghĩ rằng bài này còn có một phương pháp chứng minh khác theo em thấy thì cũng khá hay và khá là đẹp (tuy rằng hơi dài) khi áp dụng vào đẳng thức bài cho.
Đó là bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel, em áp dụng như sau:
Do $a+b+c$=1 nên $1-a=b+c$ , $1-b=a+c$ , $1-c=b+a$
Khi đó $\frac{a}{1-a}=\frac{a}{b+c}$ , $\frac{b}{1-b}=\frac{b}{a+c}$ , $\frac{c}{1-c}=\frac{c}{b+a}$
Em đặt đẳng thức bài cho là $A$
Ta có $A=\sum \frac{a^2}{ab+ac}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$ (Do cauchy-schwarz engel)
Sau đó em áp dụng bđt: $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow A\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}$
$\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$
Dấu "=" khi $a=b=c$
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 26-09-2022 - 23:17
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Em nghĩ rằng bài này còn có một phương pháp chứng minh khác theo em thấy thì cũng khá hay và khá là đẹp (tuy rằng hơi dài) khi áp dụng vào đẳng thức bài cho.
Đó là bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel, em áp dụng như sau:
Do $a+b+c$=1 nên $1-a=b+c$ , $1-b=a+c$ , $1-c=b+a$
Khi đó $\frac{a}{1-a}=\frac{a}{b+c}$ , $\frac{b}{1-b}=\frac{b}{a+c}$ , $\frac{c}{1-c}=\frac{c}{b+a}$
Em đặt đẳng thức bài cho là $A$
Ta có $A=\sum \frac{a^2}{ab+ac}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$ (Do cauchy-schwarz engel)
Sau đó em áp dụng bđt: $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow A\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}$
$\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$
Dấu "=" khi $a=b=c$
Suy ra điều phải chứng minh.
Em nghĩ còn 1 cách khác nữa là sử dụng BĐT AM - GM.
Sau các phép biến đổi, ta cần chứng minh $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{c+a}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow $(a+b+b+c+c+a)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
Áp dụng BĐT AM - GM, ta được $a+b+b+c+c+a\geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$ và $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
Nhân 2 vế với nhau, ta được (đpcm).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThienDuc1101: 27-09-2022 - 19:20
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tại sao không phải mọi tập sinh có 3 phần tử là tập cơ sởBắt đầu bởi Lyua My, 21-01-2024 đại số |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh