Đến nội dung

Hình ảnh

Tính xác xuất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với 1 học sinh nữ

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Cho 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam và 5 nữ ngồi vào 2 dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh ngồi. Tính xác xuất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với 1 học sinh nữ


Dư :unsure: Hấu   


#2
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam có $C_{10}^1$(cách)

Tránh vị trí đối diện học sinh nam, còn lại $8$ ghế.Số cách chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam là $C_8^1$(cách)

Tránh vị trí đối diện $2$ học sinh nam vừa xếp, còn lại $6$ ghế.Số cách chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam là $C_6^1$(cách)

Tránh vị trí đối diện $3$ học sinh nam vừa xếp, còn lại $4$ ghế.Số cách chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam là $C_4^1$(cách)

Tránh vị trí đối diện $4$ học sinh nam vừa xếp, còn lại $2$ ghế.Số cách chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam là $C_2^1$(cách)

Số cách xếp cho $5$ bạn nữ còn lại vào $5$ ghế là:$A_5^5$

Vậy có tất cả:$C_{10}^1 . C_8^1 . C_6^1 . C_4^1 . C_2^1 . A_5^5 = 460800$(cách)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 05-10-2022 - 19:54


#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Bây giờ hãy thử một phiên bản "khó" hơn chút: xác suất để có ít nhất 4 bạn nam ngồi đối diện nữ ? Có ít nhất 3 bạn nam ngồi đối diện nữ ?

Tổng quát hơn: với $2n$ bạn xếp vào bạn ($n$ nam và $n$ nữ), thì xác suất để có ít nhất $m$ bạn nam ($m \le n$) ngồi đối diện bạn nữ ?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#4
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Bây giờ hãy thử một phiên bản "khó" hơn chút: xác suất để có ít nhất 4 bạn nam ngồi đối diện nữ ? Có ít nhất 3 bạn nam ngồi đối diện nữ ?
Tổng quát hơn: với $2n$ bạn xếp vào bạn ($n$ nam và $n$ nữ), thì xác suất để có ít nhất $m$ bạn nam ($m \le n$) ngồi đối diện bạn nữ ?

Số phần tử không gian mẫu ( chọn n bạn ngồi vào 1 dãy ghế, hoán vị n bạn này và hoán vị n bạn còn lại) :
$\left | \Omega \right |=C_{2n}^{n}\left ( n! \right )^2$
Chọn $m$ bạn nam ngồi vào 1 dãy ghế rồi hoán vị $n$ bạn nam, $n$ bạn nữ: $\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}\left ( n! \right )^{2}$
Vậy XS là: $\frac{\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}\left [\text{(n-m) chẵn} \right] }{C_{2n}^{n}}.$
trong đó :
$\left [P\right ]=1 $ nếu $P$ đúng, ngược lại thì bằng $0.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 08-10-2022 - 11:17

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Chọn $m$ bạn nam ngồi vào 1 dãy ghế rồi hoán vị $n$ bạn nam, $n$ bạn nữ: $\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}\left ( n! \right )^{2}$

Chỗ này ý em là xếp $m$ bạn nam vào rồi chọn thêm $m$ bạn nữ ngồi đối diện?

Còn ký hiệu hàm đúng sai thì anh thấy có hai cách: $1_{\text{điều kiện}}$ hoặc $\mathbb{I}_{\text{điều kiện}}$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Chỗ này ý em là xếp $m$ bạn nam vào rồi chọn thêm $m$ bạn nữ ngồi đối diện?
Còn ký hiệu hàm đúng sai thì anh thấy có hai cách: $1_{\text{điều kiện}}$ hoặc $\mathbb{I}_{\text{điều kiện}}$.

Em chọn m bạn nam, cho toàn bộ n bạn nữ ngồi (tất nhiên có m bạn nữ ngồi đối diện m bạn nam trên) rồi hoán vị n bạn nữ...( tức là em không chọn riêng m bạn nữ).
- Hàm đúng sai: cám ơn anh, nhưng em không xem được những gì anh viết!
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#7
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Chọn $m$ bạn nam ngồi vào 1 dãy ghế rồi hoán vị $n$ bạn nam, $n$ bạn nữ:

Nếu vậy thì $m$ bạn nam được chọn ngồi đối diện nữ sẽ ngồi chung dãy ghế? Và chắc gì $m$ bạn nam được chọn đã ngồi đối diện nữ ?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#8
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Nếu vậy thì $m$ bạn nam được chọn ngồi đối diện nữ sẽ ngồi chung dãy ghế? Và chắc gì $m$ bạn nam được chọn đã ngồi đối diện nữ ?

Trước hết, em xem các bạn cùng giới tính là giống nhau, thì với mỗi cách xếp $k$ bạn nam vào một dãy sẽ cho ta $1$ cách xếp các bạn còn lại.Vậy :
- Có $C_{n}^{k}$ cách chọn vị trí ghế cho $k$ bạn nam vào một dãy,
- Giờ ta xét các bạn cùng giới tính cũng khác nhau: có $n!n!$ hoán vị giữa các bạn ấy.
Do đó, số cách xếp các bạn ấy là:
$\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}n!n!$
Theo đề bài thì $m\leq k\leq n $ nên ta có số cách xếp là: $\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}n!n!$
(và em thêm vào Iverson bracket )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 10-10-2022 - 00:40

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#9
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Số phần tử không gian mẫu ( chọn n bạn ngồi vào 1 dãy ghế, hoán vị n bạn này và hoán vị n bạn còn lại) :
$\left | \Omega \right |=C_{2n}^{n}\left ( n! \right )^2$
Chọn $m$ bạn nam ngồi vào 1 dãy ghế rồi hoán vị $n$ bạn nam, $n$ bạn nữ: $\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}\left ( n! \right )^{2}$
Vậy XS là: $\frac{\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}\left [\text{(n-m) chẵn} \right] }{C_{2n}^{n}}.$
trong đó :
$\left [P\right ]=1 $ nếu $P$ đúng, ngược lại thì bằng $0.$

Nếu vậy thì khi $n=5$, $m=1$, xác suất để có ít nhất $1$ cặp nam nữ ngồi đối diện sẽ là $\frac{C_5^1+C_5^3+C_5^5}{C_{10}^5}=\frac{16}{252}\approx 0,0635$ (lẽ ra xác suất này phải là $1$ chứ ?)

 

--------------------------------------------------------------------

Mình làm như sau :

Xem như các ghế xếp thành $n$ cột (mỗi cột gồm $2$ ghế đối diện)

Dễ thấy rằng khi n-p lẻ thì xác suất có ĐÚNG $p$ cặp nam nữ ngồi đối diện là bằng $0$. Vậy chỉ cần tính xác suất có ĐÚNG $p$ cặp nam nữ ngồi đối diện (với $p=n-2k$ và $m\leqslant p\leqslant n$) rồi "xichma" chúng lại.

$\left | \Omega \right |=\left ( 2n \right )!=\frac{P_{2n}^n}{n!}.(n!)^2=C_{2n}^n.(n!)^2$

Chọn $p$ cột (có nam nữ ngồi đối diện) : $C_n^{n-2k}=C_n^{2k}$ cách.

Xác định ghế dành cho nam và ghế dành cho nữ trong $p$ cột đó : $2^p=2^{n-2k}$ cách.

Chọn $k$ cột (mỗi cột gồm $2$ ghế nam ngồi đối diện) trong số $2k$ cột còn lại : $C_{2k}^k$ cách.

(Như vậy đã xác định được $n$ ghế dành cho nam và $n$ ghế dành cho nữ)

Xếp $n$ bạn nam vào $n$ ghế dành cho nam, $n$ bạn nữ vào $n$ ghế còn lại : $(n!)^2$ cách.

Vậy số cách xếp để có ĐÚNG n-2k cặp nam nữ ngồi đối diện là $C_n^{2k}.2^{n-2k}.C_{2k}^k.(n!)^2$

Và xác suất để có ít nhất $m$ cặp nam nữ ngồi đối diện là $\frac{\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n-m}{2} \right \rfloor}C_n^{2k}.2^{n-2k}.C_{2k}^k}{C_{2n}^n}$

Với $n=5$ :

Xác suất có ít nhất $1$ cặp nam nữ đối diện là $\frac{C_5^0.2^5.C_0^0+C_5^2.2^3.C_2^1+C_5^4.2^1.C_4^2}{C_{10}^5}=1$

Xác suất có ít nhất $3$ cặp nam nữ đối diện là $\frac{C_5^0.2^5.C_0^0+C_5^2.2^3.C_2^1}{C_{10}^5}=\frac{192}{252}\approx 0,7619$

Xác suất có ít nhất $4$ cặp nam nữ đối diện là $\frac{C_5^0.2^5.C_0^0}{C_{10}^5}=\frac{32}{252}\approx 0,1270$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#10
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Bây giờ hãy thử một phiên bản "khó" hơn chút: xác suất để có ít nhất 4 bạn nam ngồi đối diện nữ ? Có ít nhất 3 bạn nam ngồi đối diện nữ ?

Tổng quát hơn: với $2n$ bạn xếp vào bạn ($n$ nam và $n$ nữ), thì xác suất để có ít nhất $m$ bạn nam ($m \le n$) ngồi đối diện bạn nữ ?

"Rắc rối" hơn chút nữa nha ...

----------------------------------------------------

Một nhóm $12$ người gồm $4$ cặp vợ chồng, $2$ đàn ông độc thân và $2$ phụ nữ độc thân được xếp ngẫu nhiên vào $2$ hàng ghế đối diện, mỗi hàng có $6$ ghế. Tính xác suất có ĐÚNG $2$ cặp vợ chồng ngồi đối diện ?
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#11
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

"Rắc rối" hơn chút nữa nha ...

----------------------------------------------------

Một nhóm $12$ người gồm $4$ cặp vợ chồng, $2$ đàn ông độc thân và $2$ phụ nữ độc thân được xếp ngẫu nhiên vào $2$ hàng ghế đối diện, mỗi hàng có $6$ ghế. Tính xác suất có ĐÚNG $2$ cặp vợ chồng ngồi đối diện ?
 

Xem như các ghế xếp thành $6$ cột, mỗi cột gồm $2$ ghế đối diện.

- Chọn $2$ cột (dành cho $2$ cặp vợ chồng ngồi đối diện) : $C_6^2=15$ cách.

- Chọn $2$ cặp vợ chồng may mắn và xếp đứng vào trước $2$ cột đó : $4.3=12$ cách.

- Xếp $2$ cặp vợ chồng vào các ghế của $2$ cột đó : $2^2=4$ cách.

Xếp chỗ cho $8$ người còn lại :

TH1 : Có $2$ cặp "ông nọ, bà kia" (tức là có $2$ phụ nữ đã kết hôn ngồi đối diện với $2$ đàn ông đã kết hôn nhưng không phải chồng của mình)

- Chọn $2$ cột (dành cho $2$ cặp này) : $C_4^2=6$ cách.

- Xếp $2$ phụ nữ đã kết hôn đứng trước $2$ cột này : $2$ cách.

- Chọn ghế cho $2$ phụ nữ này : $2^2=4$ cách (khi đó ghế của $2$ đàn ông đã kết hôn cũng được xác định)

- Chọn ghế cho $4$ người độc thân còn lại : $4!=24$ cách.

TH2 : Có đúng $1$ cặp "ông nọ, bà kia" (có đúng $1$ cặp nam nữ đã kết hôn ngồi đối diện với nhau nhưng không phải vợ chồng)

- Chọn $2$ cột (dành cho $2$ phụ nữ đã kết hôn) : $6$ cách.

- Xếp $2$ phụ nữ đã kết hôn vào đứng trước $2$ cột đó : $2$ cách.

- Chọn ghế cho $2$ quý bà này : $4$ cách.

- Chọn $1$ quý ông đã kết hôn : $2$ cách (người này sẽ được ngồi đối diện với quý bà đã kết hôn nhưng không phải vợ mình)

- Chọn ghế cho quý ông đã có vợ còn lại : $4$ cách (vì ghế của người này phải thuộc $1$ trong $2$ cột chưa có ai ngồi)

- Xếp chỗ cho $4$ người độc thân : $24$ cách.

TH3 : Không có cặp "ông nọ, bà kia" nào ($4$ người đã kết hôn đều ngồi đối diện với người độc thân)

- Xếp $4$ người đã kết hôn đứng trước $4$ cột : $24$ cách.

- Chọn ghế cho $4$ người này : $2^4=16$ cách.

- Xếp $4$ người độc thân vào $4$ ghế còn lại : $24$ cách.

 

Xác suất cần tính là $P=\frac{15.12.4.(6.2.4.24+6.2.4.2.4.24+24.16.24)}{12!}=\frac{720.19584}{12!}\approx 0,029437$

 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh