Một hệ thống có $n$ máy, đánh số $i = 1, \ldots, n$. Ta đặt $F_i(t) : \mathbb{R}^{\ge 0} \rightarrow [0;1] $ là hàm biểu diễn xác suất máy $i$ bị hư (failure) tại thời điểm $t \ge 0$. Theo thông lệ, ta xét $F_i$ liên tục và tăng. Nói nôm na: máy càng sử dụng lâu thì càng có nguy cơ bị hư hỏng.
Hệ thống được gọi là $k-out-of-n:F$ nếu hệ thống chỉ bị coi là hư khi có ít nhất $k$ máy bị hư (tức là có ít nhất $n-k+1$ máy còn hoạt động). Ta sẽ tính toán độ tin cậy (reliability) $R(t)$, tức là xác suất chưa bị hư, của hệ thống tại thời điểm $t$.
$$\begin{equation}\label{eq_rel_fun} R\left( t \right) = \sum\limits_{l < k} {\sum\limits_{\sigma \in {S}\left( n,l \right)} {\prod\limits_{1 \le j \le n \\j \in \sigma}^{} {{F_j}\left( t \right)} \prod\limits_{1 \le j \le n \\ j\not \in \sigma}^{} {\left( {1 - {F_j}\left( t \right)} \right)} } }\end{equation} $$
Trong đó, $S(n,l)$ là tập hợp các tập con có đúng $l$ phần tử của tập $\{1,2,\ldots,n\}$.
Một số ví dụ kinh điển là:
* $k=1$ (Hệ thống series (chuỗi)): Hệ thống sẽ hư nếu có máy nào đó hư. Nghĩa là, xác suất hệ thống chưa hư là xác suất chưa máy nào bị hư. Khi đó (1) trở thành:
\[\begin{equation}\label{eq_rel_series} {R_{k = 1}}\left( t \right) = \prod\limits_{1 \le j \le n}^{} {\left( {1 - {F_j}\left( t \right)} \right)}\end{equation} \]
* $k=n$ (Hệ thống parallel (song song)): Hệ thống sẽ hư nếu mọi máy đều hư. Nghĩa là, xác suất hệ thống chưa hư là phần bù của biến cố tất cả máy đều hư. Khi đó (1) trở thành:
\[\begin{equation}\label{eq_rel_parallel} {R_{k = n}}\left( t \right) = 1 - \prod\limits_{1 \le j \le n}^{} {{F_j}\left( t \right)} \end{equation} \]
* $k=2, n=3$: để tiện ghi chép, ta lượt bỏ phần biến số $t$. Khi đó, (1) trở thành:
\[{R_{k = 2,n = 3}} = \left( {1 - {F_1}} \right)\left( {1 - {F_2}} \right)\left( {1 - {F_3}} \right) + {F_1}\left( {1 - {F_2}} \right)\left( {1 - {F_3}} \right) + {F_2}\left( {1 - {F_1}} \right)\left( {1 - {F_3}} \right) + {F_3}\left( {1 - {F_1}} \right)\left( {1 - {F_2}} \right)\]
Câu hỏi mà mình muốn thảo luận là: có cách nào để "đơn giản hóa" (1) không? Hoặc là đánh giá chặn dưới, chặn trên ?