Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $d$ không đi qua $O$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $A$ và $B$. Từ một điểm $M$ tùy ý trên đường thẳng $d$ và ở ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $MN$ và $MP$ với đường tròn $(O)$ $(M$, $N$ là hai tiếp điểm$)$.
$1.$ Chứng minh rằng $MN^{2}=MP^{2}=MA.MB$.
$2.$ Xác định vị trí điểm $M$ trên đường thẳng $d$ sao cho tứ giác $MNOP$ là hình vuông
$3.$ Chứng minh rằng tâm của đường tròn nội tiếp và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ lần lượt chạy trên hai đường cố định khi $M$ di động trên đường thẳng $d$.
a) Dễ có phương tích $MN^{2}=MP^{2}=MA.MB$ hoặc $\Delta MNA\infty \Delta MBN(g-g)\Rightarrow \frac{MN}{MA}=\frac{MB}{MN}\Rightarrow MN^{2}=MP^{2}=MA.MB$
b) MNOP là hv$\Rightarrow OM=NP=\sqrt{R^{2}+R^{2}}=R\sqrt{2}$$\Rightarrow${M}=$(O;R\sqrt{2})\cap$ đường thẳng d
c) Dễ thấy tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MNP$ thuộc (O;R) cố định
Gọi K là (MNP) mà (MNP)$\equiv$(MNOP) $\Rightarrow$ K trung điểm OM
Gọi E trung điểm AB, I trung điểm ME
$\Rightarrow$ KI//=$\frac{OE}{2}$
Do đó K di chuyển trên đường thẳng // AB và cách AB một khoảng = $\frac{OE}{2}$ cố định
