Cho đa giác (H) có 20 đỉnh nội tiếp 1 đường tròn. CHọn 4 đỉnh tùy ý của (H). Tính xác xuất để chọn được 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác lồi có 4 cạnh đều là đường chéo của (H)
Tính xác xuất để chọn được 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác lồi có 4 cạnh đều là đường chéo của (H)
#2
Đã gửi 04-03-2023 - 17:36
Cho đa giác (H) có 20 đỉnh nội tiếp 1 đường tròn. CHọn 4 đỉnh tùy ý của (H). Tính xác xuất để chọn được 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác lồi có 4 cạnh đều là đường chéo của (H)
Nói quả thực ra thì mình nghĩ là đề sai do mình cũng chưa thấy bao giờ việc tạo được $1$ tứ giác lồi có $4$ cạnh đều là cạnh của đa giác là khả thi cả.
Có lẽ bạn nên check lại đề
(o|o) Hoặc cũng có thể do mình chưa nhìn thấy nó bh cả
#3
Đã gửi 05-03-2023 - 14:38
Cho đa giác (H) có 20 đỉnh nội tiếp 1 đường tròn. CHọn 4 đỉnh tùy ý của (H). Tính xác xuất để chọn được 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác lồi có 4 cạnh đều là đường chéo của (H)
Trước hết hãy xét bài toán phụ sau :
Cho $n$ điểm thẳng hàng $A_1,A_2,...,A_n$ (theo thứ tự đó). Tính số cách chọn $k$ điểm sao cho không có $2$ điểm nào có số thứ tự liên tiếp ?
Gọi $x_1$ là số điểm trước điểm đầu tiên được chọn ; $x_2$ là số điểm nằm giữa điểm đầu tiên được chọn và điểm thứ hai được chọn ; ... ; $x_k$ là số điểm nằm giữa điểm thứ k-1 được chọn và điểm $k$ được chọn ; $x_{k+1}$ là số điểm sau điểm thứ $k$ được chọn.
$x_1+x_2+x_3+...+x_k+x_{k+1}=n-k$ ($x_1,x_{k+1}\geqslant 0$ ; $x_2,x_3,...,x_k\geqslant 1$)
hay $x_1+y_2+y_3+...+y_k+x_{k+1}=n-2k+1$ ($x_1,y_2,y_3,...,y_k,x_{k+1}\geqslant 0$)
Số cách chọn chính là số nghiệm không âm của phương trình cuối cùng và bằng $C_{n-k+1}^k$
Trở lại bài toán đang xét : Có 2 trường hợp :
a) Đỉnh $A_1$ được chọn : Khi đó đỉnh $A_2$ và $A_{20}$ sẽ không được chọn. Ta xem như $17$ điểm còn lại (từ $A_3$ đến $A_{19}$) thẳng hàng và phải chọn thêm $3$ điểm nữa. Số cách sẽ là $C_{17-3+1}^3=C_{15}^3$
b) Đỉnh $A_1$ không được chọn : Khi đó ta xem $19$ điểm còn lại thẳng hàng và phải chọn $4$ điểm. Số cách là $C_{16}^4$
Vậy tổng số cách chọn thỏa mãn là $C_{15}^3+C_{16}^4=2275$
Xác suất cần tính là $\frac{2275}{C_{20}^4}=\frac{455}{969}$.
- hxthanh, Nobodyv3, Le Tuan Canhh và 1 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#4
Đã gửi 05-03-2023 - 19:06
Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Các tứ giác được tạo thành có các đỉnh theo chiều kim đồng hồ là $A_1A_kA_lA_m$, trong đó có 20 cách chọn $A_1$ và số cách chọn 3 đỉnh kia là:
$\begin{cases}
k>1+1=2\\
l>k+1\\
k+2<l+1<m<20
\end{cases}
\Longrightarrow 3\leq k< l-1< m-2 \leq 17$
Suy ra số cách chọn bộ (k, l, m) là $C_{15}^{3}$. Ngoài ra, do tứ giác có 4 đỉnh nên $A_1$ lập lại 4 lần. Vậy xác suất cần tìm là :
$P(A)=\frac {\frac { 20}{4}C_{15}^{3}}{C_{20}^{4}}=\frac {2275}{4845}=\frac {455}{969}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 05-03-2023 - 19:29
- chanhquocnghiem và Le Tuan Canhh thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#5
Đã gửi 05-03-2023 - 22:55
Ở đây e cx thấy khá lạ nếu như chuyển nó về bài toán tìm xác suất chọn $4$ đỉnh tạo thành $1$ tứ giác mà không có cạnh nào chu
$-----------------------------------$
Ta xét các trường hợp:
TH1 : Tứ giác được chọn có đúng $3$ cạnh chung : Có $20$ tứ giác
TH2 : Tứ giác được chọn có đúng $2$ cạnh chung
_ Tứ giác có $2$ cạnh kề nhau
Chọn $2$ cạnh kề nhau của đa giác $(H)$ có $20$ cách
Còn lại $20 - 3 - 2 = 15$(đỉnh)
Suy ra có $C_{15}^1$ cách chọn đỉnh thứ $4$
Tạo được $20 . C_{15}^1 = 300$(tứ giác)
_ Tứ giác có $2$ cạnh không kề nhau
Chọn $1$ cạnh bất kì có $20$ cách chọn.
Giả sử chọn $A_1A_2$ , chọn cạnh khác cần tránh $A_1A_2;A_2A_3;A_3A_4;A_{20}A_1;A_{19}A_{20}$ có $15$ cách chọn
Mỗi tứ giác được chọn sẽ lặp lại $2$ lần nên số tứ giác tạo được là $\dfrac{15.20}{2} = 150$
TH này có $300 + 150 = 450$
TH3 : Tứ giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H).
Có 20 cách chọn 1 cạnh bất kỳ của đa giác (H) là cạnh của tứ giác, giả sử là cạnh $A_1A_2$
Chọn 2 trong số 16 đỉnh còn lại (trừ A1, A2, A3, A20), có $C_{16}^2$ cách chọn.
Trong $C_{16}^2$ cách chọn 2 đỉnh đó, có 15 cách chọn 2 đỉnh kề nhau tạo thành cạnh của đa giác.
Vậy có $20. (C_{16}^2 – 15) = 2010$ tứ giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H).
Vậy có $C_{20}^4 - 20 - 450 - 2010 = 2365$ tứ giác mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác.
Ko nghĩ là $4$ cạnh là khả thi đâu ạ
#6
Đã gửi 06-03-2023 - 10:35
Ở đây e cx thấy khá lạ nếu như chuyển nó về bài toán tìm xác suất chọn $4$ đỉnh tạo thành $1$ tứ giác mà không có cạnh nào chu
$-----------------------------------$
Ta xét các trường hợp:
TH1 : Tứ giác được chọn có đúng $3$ cạnh chung : Có $20$ tứ giác
TH2 : Tứ giác được chọn có đúng $2$ cạnh chung
_ Tứ giác có $2$ cạnh kề nhau
Chọn $2$ cạnh kề nhau của đa giác $(H)$ có $20$ cách
Còn lại $20 - 3 - 2 = 15$(đỉnh)
Suy ra có $C_{15}^1$ cách chọn đỉnh thứ $4$
Tạo được $20 . C_{15}^1 = 300$(tứ giác)
_ Tứ giác có $2$ cạnh không kề nhau
Chọn $1$ cạnh bất kì có $20$ cách chọn.
Giả sử chọn $A_1A_2$ , chọn cạnh khác cần tránh $A_1A_2;A_2A_3;A_3A_4;A_{20}A_1;A_{19}A_{20}$ có $15$ cách chọn
Mỗi tứ giác được chọn sẽ lặp lại $2$ lần nên số tứ giác tạo được là $\dfrac{15.20}{2} = 150$
TH này có $300 + 150 = 450$
TH3 : Tứ giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H).
Có 20 cách chọn 1 cạnh bất kỳ của đa giác (H) là cạnh của tứ giác, giả sử là cạnh $A_1A_2$
Chọn 2 trong số 16 đỉnh còn lại (trừ A1, A2, A3, A20), có $C_{16}^2$ cách chọn.
Trong $C_{16}^2$ cách chọn 2 đỉnh đó, có 15 cách chọn 2 đỉnh kề nhau tạo thành cạnh của đa giác.
Vậy có $20. (C_{16}^2 – 15) = 2010$ tứ giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H).
Vậy có $C_{20}^4 - 20 - 450 - 2010 = 2365$ tứ giác mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác.
Ko nghĩ là $4$ cạnh là khả thi đâu ạ
$C_{20}^4-20-450-20.(C_{16}^2-15)=2275$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#7
Đã gửi 25-04-2023 - 14:05
$$S(n,k)= \frac{n}{n-k} {n-k\choose k} $$
Với $n=20,\; k=4$ thì $S(20,4)=\frac{20}{16}{16\choose 4}=2275$
- chanhquocnghiem yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh