Đến nội dung

Hình ảnh

Tính xác xuất để chọn được 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác lồi có 4 cạnh đều là đường chéo của (H)

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Cho đa giác (H) có 20 đỉnh nội tiếp 1 đường tròn. CHọn 4 đỉnh tùy ý của (H). Tính xác xuất để chọn được 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác lồi có 4 cạnh đều là đường chéo của (H)


Dư :unsure: Hấu   


#2
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Cho đa giác (H) có 20 đỉnh nội tiếp 1 đường tròn. CHọn 4 đỉnh tùy ý của (H). Tính xác xuất để chọn được 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác lồi có 4 cạnh đều là đường chéo của (H)

 

Nói quả thực ra thì mình nghĩ là đề sai do mình cũng chưa thấy bao giờ việc tạo được $1$ tứ giác lồi có $4$ cạnh đều là cạnh của đa giác là khả thi cả. 

 

Có lẽ bạn nên check lại đề  :ukliam2:

 

(o|o) Hoặc cũng có thể do mình chưa nhìn thấy nó bh cả



#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Cho đa giác (H) có 20 đỉnh nội tiếp 1 đường tròn. CHọn 4 đỉnh tùy ý của (H). Tính xác xuất để chọn được 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác lồi có 4 cạnh đều là đường chéo của (H)

Trước hết hãy xét bài toán phụ sau :

Cho $n$ điểm thẳng hàng $A_1,A_2,...,A_n$ (theo thứ tự đó). Tính số cách chọn $k$ điểm sao cho không có $2$ điểm nào có số thứ tự liên tiếp ?

Gọi $x_1$ là số điểm trước điểm đầu tiên được chọn ; $x_2$ là số điểm nằm giữa điểm đầu tiên được chọn và điểm thứ hai được chọn ; ... ; $x_k$ là số điểm nằm giữa điểm thứ k-1 được chọn và điểm $k$ được chọn ; $x_{k+1}$ là số điểm sau điểm thứ $k$ được chọn.

$x_1+x_2+x_3+...+x_k+x_{k+1}=n-k$ ($x_1,x_{k+1}\geqslant 0$ ; $x_2,x_3,...,x_k\geqslant 1$)

hay $x_1+y_2+y_3+...+y_k+x_{k+1}=n-2k+1$ ($x_1,y_2,y_3,...,y_k,x_{k+1}\geqslant 0$)

Số cách chọn chính là số nghiệm không âm của phương trình cuối cùng và bằng $C_{n-k+1}^k$

 

Trở lại bài toán đang xét : Có 2 trường hợp :

a) Đỉnh $A_1$ được chọn : Khi đó đỉnh $A_2$ và $A_{20}$ sẽ không được chọn. Ta xem như $17$ điểm còn lại (từ $A_3$ đến $A_{19}$) thẳng hàng và phải chọn thêm $3$ điểm nữa. Số cách sẽ là $C_{17-3+1}^3=C_{15}^3$

b) Đỉnh $A_1$ không được chọn : Khi đó ta xem $19$ điểm còn lại thẳng hàng và phải chọn $4$ điểm. Số cách là $C_{16}^4$

Vậy tổng số cách chọn thỏa mãn là $C_{15}^3+C_{16}^4=2275$

Xác suất cần tính là $\frac{2275}{C_{20}^4}=\frac{455}{969}$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Một cách lập luận khác :
Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Các tứ giác được tạo thành có các đỉnh theo chiều kim đồng hồ là $A_1A_kA_lA_m$, trong đó có 20 cách chọn $A_1$ và số cách chọn 3 đỉnh kia là:
$\begin{cases}
k>1+1=2\\
l>k+1\\
k+2<l+1<m<20
\end{cases}
\Longrightarrow 3\leq k< l-1< m-2 \leq 17$
Suy ra số cách chọn bộ (k, l, m) là $C_{15}^{3}$. Ngoài ra, do tứ giác có 4 đỉnh nên $A_1$ lập lại 4 lần. Vậy xác suất cần tìm là :
$P(A)=\frac {\frac { 20}{4}C_{15}^{3}}{C_{20}^{4}}=\frac {2275}{4845}=\frac {455}{969}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 05-03-2023 - 19:29

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#5
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Ở đây e cx thấy khá lạ nếu như chuyển nó về bài toán tìm xác suất chọn $4$ đỉnh tạo thành $1$ tứ giác mà không có cạnh nào chu

 

$-----------------------------------$

 

Ta xét các trường hợp:

 

TH1 : Tứ giác được chọn có đúng $3$ cạnh chung : Có $20$ tứ giác

 

TH2 : Tứ giác được chọn có đúng $2$ cạnh chung 

 

_ Tứ giác có $2$ cạnh kề nhau

Chọn $2$ cạnh kề nhau của đa giác $(H)$ có $20$ cách

 

Còn lại $20 - 3 - 2 = 15$(đỉnh)

 

Suy ra có $C_{15}^1$ cách chọn đỉnh thứ $4$ 

 

Tạo được $20 . C_{15}^1 = 300$(tứ giác)

 

_ Tứ giác có $2$ cạnh không kề nhau 

 

Chọn $1$ cạnh bất kì có $20$ cách chọn. 

Giả sử chọn $A_1A_2$ , chọn cạnh khác cần tránh $A_1A_2;A_2A_3;A_3A_4;A_{20}A_1;A_{19}A_{20}$ có $15$ cách chọn 

Mỗi tứ giác được chọn sẽ lặp lại $2$ lần nên số tứ giác tạo được là $\dfrac{15.20}{2} = 150$

 

TH này có $300 + 150  = 450$

 

TH3 : Tứ giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H).

Có 20 cách chọn 1 cạnh bất kỳ của đa giác (H) là cạnh của tứ giác, giả sử là cạnh $A_1A_2$
Chọn 2 trong số 16 đỉnh còn lại (trừ A1, A2, A3, A20), có $C_{16}^2$ cách chọn.
Trong $C_{16}^2$ cách chọn 2 đỉnh đó, có 15 cách chọn 2 đỉnh kề nhau tạo thành cạnh của đa giác.
Vậy có $20. (C_{16}^2 – 15) = 2010$ tứ giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H).
Vậy có $C_{20}^4 - 20 - 450 - 2010 = 2365$ tứ giác mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác.

 

Ko nghĩ là $4$ cạnh là khả thi đâu ạ :P
 



#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Ở đây e cx thấy khá lạ nếu như chuyển nó về bài toán tìm xác suất chọn $4$ đỉnh tạo thành $1$ tứ giác mà không có cạnh nào chu

 

$-----------------------------------$

 

Ta xét các trường hợp:

 

TH1 : Tứ giác được chọn có đúng $3$ cạnh chung : Có $20$ tứ giác

 

TH2 : Tứ giác được chọn có đúng $2$ cạnh chung 

 

_ Tứ giác có $2$ cạnh kề nhau

Chọn $2$ cạnh kề nhau của đa giác $(H)$ có $20$ cách

 

Còn lại $20 - 3 - 2 = 15$(đỉnh)

 

Suy ra có $C_{15}^1$ cách chọn đỉnh thứ $4$ 

 

Tạo được $20 . C_{15}^1 = 300$(tứ giác)

 

_ Tứ giác có $2$ cạnh không kề nhau 

 

Chọn $1$ cạnh bất kì có $20$ cách chọn. 

Giả sử chọn $A_1A_2$ , chọn cạnh khác cần tránh $A_1A_2;A_2A_3;A_3A_4;A_{20}A_1;A_{19}A_{20}$ có $15$ cách chọn 

Mỗi tứ giác được chọn sẽ lặp lại $2$ lần nên số tứ giác tạo được là $\dfrac{15.20}{2} = 150$

 

TH này có $300 + 150  = 450$

 

TH3 : Tứ giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H).

Có 20 cách chọn 1 cạnh bất kỳ của đa giác (H) là cạnh của tứ giác, giả sử là cạnh $A_1A_2$
Chọn 2 trong số 16 đỉnh còn lại (trừ A1, A2, A3, A20), có $C_{16}^2$ cách chọn.
Trong $C_{16}^2$ cách chọn 2 đỉnh đó, có 15 cách chọn 2 đỉnh kề nhau tạo thành cạnh của đa giác.
Vậy có $20. (C_{16}^2 – 15) = 2010$ tứ giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H).
Vậy có $C_{20}^4 - 20 - 450 - 2010 = 2365$ tứ giác mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác.

 

Ko nghĩ là $4$ cạnh là khả thi đâu ạ :P
 

$C_{20}^4-20-450-20.(C_{16}^2-15)=2275$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Tổng quát thì số $k-$giác có các cạnh là đường chéo của $n-$ giác lồi là
$$S(n,k)= \frac{n}{n-k} {n-k\choose k} $$
Với $n=20,\; k=4$ thì $S(20,4)=\frac{20}{16}{16\choose 4}=2275$




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh