Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ NĂM HỌC 2019-2020

số học chuyên toán

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 175 trả lời

#1 RyuseiKento

RyuseiKento

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Anime, Bóng đá, Hình học

Đã gửi 09-05-2020 - 16:33

Chào tất cả mọi người! Vậy là sau kì nghỉ tết dài nhất lịch sử thì chúng ta chỉ còn hơn 2 tháng trước kỳ thi tuyển sinh vào 10 Chuyên :icon6: . Như các bạn đã biết, năm học này VMF đã có 4 TOPIC ôn thi chuyên là:

$1,$ ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC 2019-2020.

$2,$ ÔN THI HÌNH HỌC 2019-2020.

$3,$ ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2019-2020.

$4,$ ÔN THI TOÁN RỜI RẠC 2019-2020.

Sau khi thảo luận với anh WaduPunch, mình quyết định lập TOPIC về mảng ôn thi cuối cùng còn thiếu là Số học. Mong các bạn ủng hộ!

Dưới đây là một số nội quy của TOPIC:

+ Trình bày lời giải đầy đủ bằng $\LaTeX$.

Chú ý: Bạn nào chưa biết gõ $\LaTeX$ có thể  xem tại đây.

+ Không spam, làm loãng TOPIC.

+ Bài toán đã làm được tô màu đỏ.

+ Nếu như một bài toán nào đó được đề xuất mà đã có lời giải ở trang khác, mình mong mọi người hãy trình bày đầy đủ tại trang này luôn, không dẫn link đến các trang khác.

+ Khuyến khích các bạn đăng những bài hay, "vừa tầm" với đề thi chuyên toán.

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 29-06-2020 - 16:58


#2 RyuseiKento

RyuseiKento

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Anime, Bóng đá, Hình học

Đã gửi 09-05-2020 - 16:46

Sau đây là những bài luyên tập đầu tiên:
$\boxed{\text{Bài 1}}$: Tìm tất cả các bộ 3 số nguyên dương $(p, q, n)$ sao cho $p, q$ là các số nguyên tố thỏa mãn: $p(p+3) + q(q+3) = n(n+3)$.

Nguồn

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m, n)$ thỏa mãn: $n! + 505 = m^2$.

Nguồn

 

$\boxed{\text{Bài 3}}$: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-y^3-2y^2-3y-1=0$.

 

$\boxed{\text{Bài 4}}$: Tìm các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho số đó bằng tổng các bình phương của số tạo bởi 2 chữ số đầu và số tạo bởi 2 chữ số cuối, biết 2 chữ số cuối giống nhau.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RyuseiKento: 11-05-2020 - 18:26


#3 foreveryeuanh

foreveryeuanh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-05-2020 - 19:04

Sau đây là những bài luyên tập đầu tiên:

 

$\boxed{\text{Bài 3}}$: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-y^3-2y^2-3y-1=0$. 

 

Chắc em đã lấy bài dễ nhất rồi.

 

 

Phương trình đã cho  $\Leftrightarrow$  $x^3 = y^3+2y^2+3y+1$ . Khi đó :

$y^{3} \leq x^{3}= y^{3}+2y^{2}+3y+1 \leq (y+1)^{3}$
 

Suy ra :  $2y^{2}+3y+1=0$  hoặc   $y^2$=0

  =>    (2y+1)(y+1)=0  hoặc y=0

=> y=-1 hoặc y=0 

Thay vào phương trình ta có ......

Vậy (x;y)=(-1;-1) , (0;0)


 Mình không thích cái nickname cũ nên mới đổi nick rồi 

 

 

 

                                               

 

 


#4 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 599 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 09-05-2020 - 20:31

$\boxed{\text{Bài 1}}$: Tìm tất cả các bộ 3 số nguyên dương $(p, q, n)$ sao cho $p, q$ là các số nguyên tố thỏa mãn: $p(p+3) + q(q+3) = n(n+3) (*)$.

Nguồn

Xử thử bài 1:

Bài 1: Xét $p=3\Rightarrow (*)\Leftrightarrow 18+q(q+3)=n(n+3)\Leftrightarrow 18=(n-q)(q+n+3)$

 Dễ thấy: $q+n+3>0\Rightarrow n>q;q+n+3>n-q+3>n-q$

 Ta có: +)$\left\{\begin{matrix} q+n+3=18 \\ n-q=1 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n=8 \\ q=7 \end{matrix} \right.$ (t/m)

           +)$\left\{\begin{matrix} q+n+3=9 \\ n-q=2 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n=4 \\ q=2 \end{matrix} \right.$ (t/m)

 Tương tự với $q=3$

 Xét $p;q\not= 3\Rightarrow p(p+3)\equiv 1(\mod 3);q(q+3)\equiv 1(\mod 3)\Rightarrow n(n+3)\equiv 2(\mod 3)$ (vô lí vì $n(n+3)\equiv 0;1(\mod 3)$ )

 $\Rightarrow p;q\not= 3$ không thỏa mãn.

Vậy.....



#5 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Đã gửi 09-05-2020 - 21:25

Bài 5: Tìm tất cả các số $ k \in N $ mà khi gạch bỏ một chữ số ta được số mới $ k’=\frac{1}{71}k $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daniel18: 09-05-2020 - 21:25


#6 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Đã gửi 09-05-2020 - 21:29

Bài 6: 1) Hãy chỉ ra hai số nguyên dương khác nhau $x$ và $y$ sao đó $xy+x$ và $xy+y$ đều là bình phương của 2 số nguyên dương khách nhau
2) Có hay không hai số nguyên dương khác nhau $x$ và $y$ mà $(x,y) \in (988,1994) $ sao cho $xy+x$ và $xy+y$ đều là bình phương của hai số nguyên dương khác nhau

#7 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 599 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 10-05-2020 - 09:47

Bài 6: 2) Có hay không hai số nguyên dương khác nhau $x$ và $y$ mà $(x,y) \in (988,1994) $ sao cho $xy+x$ và $xy+y$ đều là bình phương của hai số nguyên dương khác nhau

 KMTTQ giả sử $x \ge y+1$ (vì $x \ne y$) 
Đặt $xy+x=m^2,xy+y=n^2$  trong đó $m,n$ là các số nguyên dương suy ra $m>n \Leftrightarrow m \ge n+1$
Ta có $xy+x=n^2 \ge (y+1)y+y+1=(y+1)^2 \Rightarrow n>y$ 
Xét $x-y=(m-n)(m+n) \ge 2n+1 >2y+1$ do $f(x)=2x+1$ là hàm đồng biến $\forall x \in \mathbb{R}$ 
Vậy nên $x>3y+1$ 
Vì $y,x \in (998;1994)$ (1) suy ra $3y+1>3.998+1>1994$ 
Suy ra $x>1994$ (mâu thuẫn với (1)) 
Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa mãn yêu cầu. 

Nguồn



#8 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 10-05-2020 - 15:14

Bài 7: tìm tất cả các số nguyên dương n lẻ sao cho n-1 là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số nguyên dương k thỏa mãn k(k+1)/2 chia hết cho n (đề tự luyện số 9 sách 50 đề ôn thi chuyên toán)
Nguyễn Thế Thành

#9 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 10-05-2020 - 15:16

Bài 8: CMR không tồn tại các số nguyên dương x,y thỏa mãn (x^2+y)(y^2+x)=2(x-y)^3. Bài 4 theo mình làm dùng đồng dư và chữ số tận cùng thì không tồn tại số thỏa mãn. Bài 3 thì nếu n lớn hơn bằng 10 thì m^2 chia hết cho 25 nhưng 505 không chia hết nên n<10.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 10-05-2020 - 15:28

Nguyễn Thế Thành

#10 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 10-05-2020 - 15:30

Bài 9: Tồn tại hay không số k nguyên dương để số 160...081(k số 0) là số chính phương? Giải thích.
Nguyễn Thế Thành

#11 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1k24-THPT chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:sunny day

Đã gửi 10-05-2020 - 15:41

Xin góp bài này hay hay tí: :)
Bài 10:Tìm x là số nguyên dương,y là 1 số nguyên tố sao cho:
 $y^x$ -1=(y-1)!
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocthai0974767675: 14-05-2020 - 20:10

             We are constantly working on bigger and better projects


#12 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 10-05-2020 - 16:54

Bài 9: Tồn tại hay không số k nguyên dương để số 160...081(k số 0) là số chính phương? Giải thích.

Giả sử tồn tại số nguyên dương k sao cho 1600...081 (k số 0) là số chính phương.

Đặt 1600...081 = h2 (h $\in$ N).

Ta có: 16 . 10k + 2 + 81 = h2.

$\Rightarrow$ 16 . 10k + 2 = (h - 9)(h + 9)
Dễ thấy h lẻ. Đặt h = 2m + 1(m $\in$ N). Ta có 16 . 10k + 2 = 4(m - 4)(m + 5)

$\Rightarrow$ 4 . 10k + 2 = (m - 4)(m + 5)

Đặt d = (m - 4, m + 5) thì 9 chia hết cho d. Mà m - 4 và m + 5 ko chia hết cho 3 (dễ chứng minh) nên d = 1.

Lại có: 4 . 10k + 2 = 2k + 4 . 5k + 2

Và: 5k + 2 > 4k + 2 = 22k + 4 $\geq$ 2k + 4

Ta cũng chứng minh được m > 20.

Suy ra m - 4 = 2k + 4; m + 5 = 5k + 2

$\Rightarrow$ 5k + 2 - 2k + 4 = 9.

Mà 5k + 2 > 22k + 4 nên 5k + 2 - 2k + 4 > 2k + 4(2k - 1) > 9 (mâu thuẫn).

Vậy...



#13 RyuseiKento

RyuseiKento

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Anime, Bóng đá, Hình học

Đã gửi 10-05-2020 - 18:23

$\boxed{\text{Bài 4}}$: Tìm các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho số đó bằng tổng các bình phương của số tạo bởi 2 chữ số đầu và số tạo bởi 2 chữ số cuối, biết 2 chữ số cuối giống nhau.

 

Bài 4 theo mình làm dùng đồng dư và chữ số tận cùng thì không tồn tại số thỏa mãn.

Bài này có nghiệm nha bạn!

Lời giải:

-Gọi số cần tìm là $\overline{ a b c c}. (a>0, a;b;c\in N, a;b;c\leq 9)$

-Ta có: $\overline{ a b c c}=\overline{a b}^2+\overline{c c}^2$

-Đặt: $\overline{a b}=x, \overline{c c}=y$, suy ra $100x+y=x^2+y^2 \Leftrightarrow x^2-100x+y^2-y=0$. (1)

-Để pt có nghiệm thì:$\Delta=(-100)^2-4.1.(y^2-y)=10000-4y^2+4y\geq 0$

$\Leftrightarrow y^2-y-2500\leq 0 \Leftrightarrow y(y-1)\leq 2500 \Leftrightarrow y\leq 50$. (vì $y\in N$*)

$\Leftrightarrow y\in$ {11,22,33,44}

+) Với $y=11, 22, 44$ thì $x\not \in N$*

+) Với $y=33$ thì $x\in$ {88,12}

-Vậy số cần tìm là $8833, 1233$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RyuseiKento: 10-05-2020 - 18:26


#14 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 10-05-2020 - 22:57

Bài 10: thử với y=2,3,5 thì đều có nghiệm, ta đi cm với mọi y nguyên tố lớn hơn 5 thì không tồn tại số tự nhiên x sao cho (y-1)!+1=y^x. Thật vậy giả sử tồn tại x tự nhiên thỏa mãn thì =>(y-1)!=(y-1)(y^x-1 +...+y+1) nên y^x-1+...+x+1=(y-2)!. Do y>5 nên 2<(y-1)/2<y-1. Ta có kết quả quen thuộc là (y-2)! chia hết cho y-1 nên y^(x-1)-1+...+y-1+x =(y-2)! chia hết cho y-1 nên x chia hết cho y-1 hay x lớn hơn hoặc bằng y-1 suy ra y^x>(y-1)!+1( vô lý). Vậy giả thiết sai dẫn đến đpcm. Bài 4 mình chỉ mới nháp với dùng đồng dư nên nhiều trường hợp quá, chắc mình bỏ sót hay sai chỗ nào rồi, để mình xem lại nhé!
Nguyễn Thế Thành

#15 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:thích bđt và số học

Đã gửi 10-05-2020 - 23:39

$\boxed{\text{Bài 2}}$: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m, n)$ thỏa mãn: $n! + 505 = m^2$.

Nguồn

 

.

mk xin phép đưa ra lời giải Bài 2 của mk ( mk cx chx bt đúng ko ):

Ta có:

$m^{2}=n!+505\geq 506\Rightarrow m\geq \sqrt{506}>22$

Nên $n!=m^2-505$>24 \Rightarrow n> 4$

-Với n=4 thì  suy ra m = 23

-Với n=5 thì suy ra m=25

-Với n=6 thì m=35

- Với n =7,8,9,10,11,12 thay vào thì ko thỏa mãn

-với n$\geqslant 13$ thì $n!\vdots 13\Rightarrow n!+505\equiv 11 (mod13)$ (*)

Mà SCP chia 13 ko dư 11

Suy ra (*) mâu thuẫn nên tồn tại n nguyên và n > 12 thỏa mãn bài toán

Kết Luận:.......

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietdung109: 14-05-2020 - 15:02


#16 JenChooLiChaeng

JenChooLiChaeng

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10T1, Trường THPT chuyên Lam Sơn

Đã gửi 11-05-2020 - 00:09

Bài 5: Tìm tất cả các số $ k \in N $ mà khi gạch bỏ một chữ số ta được số mới $ k’=\frac{1}{71}k $

Mọi người kiểm tra giúp em ạ

Giả sử k=AbC Trong đó A và C là các số tự nhiên, b là chữ số. Khi đó k`=AC

Ta có: k`=1/71k=> 71k`=k => 71AC = AbC

=> (10^n .A+C)=10^(n+1).A+10^n.b+C

=>[71. 10^n - 10^(n+1)].A+70.C=10^n.b

=>(710...00(n chứ số 0) - 100... 00(n chứ số 0)).A+70.C=10^n.b

=>6100…00(n chứ số 0).A+70C=10^n.b

Do b là chữ số =>b<10=>10^n.b<10^(n+1)=10...00(n chứ số 0)< 6100…00(n chứ số 0).A+70C=10^n.b (vô lí)

Vậy không tìm dược k

P/s: Em không chèn đc LaTex vào ạ



#17 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:thích bđt và số học

Đã gửi 11-05-2020 - 11:40

Bài 8: CMR không tồn tại các số nguyên dương x,y thỏa mãn . $(x^2+y)(y^2+x)=2(x-y)^3$

Ta có:

$PT\Leftrightarrow 4(x^2+y)(y^2+x)=8(x-y)^3\Leftrightarrow (x^2+y+y^2+x)^2-(x^2+y-y^2-x)^2=8(x-y)^3

\Leftrightarrow (x^2+y+y^2+x)^2=8(x-y)^3+(x-y)^2(x+y-1)^2\Leftrightarrow (x^2+y+y^2+x)^2=(x-y)^2.\left [ 8(x-y)+(x+y-1)^2 \right ]$

Nên

$8(x-y)+(x+y-1)^2$ là số chính phương lại dễ cm đc x,y cùng tính chẵn lẻ và:

$(x+y-1)^2<8(x-y)+(x+y-1)^2<(x+y+3)^2$ nên

$8(x-y)+(x+y-1)^2=(x+y+1)^2\Leftrightarrow x=3y$

Khi đó: $(x^2+y)(y^2+x)>x^3=27y^3>16y^3=2(x-y)^2$ (vô lý)

Vậy .............



#18 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:thích bđt và số học

Đã gửi 11-05-2020 - 13:04

Mk xin góp mấy bài cho topic (vài bài mk cx chx có lời giải haizz):

Bài 11: Tìm a,b,n nguyên dương sao cho: $\frac{ab^{2n-1}}{a-b}$ là số nguyên tố 

Bài 12: Tìm n nguyên dương sao cho $\frac{7^n-6^n}{6^n-1}$ là số nguyên

Bài 13:Tìm n nguyên dương sao cho :$n.(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!})$là số nguyên

Bài 14: Tìm a,b,c nguyên dương thỏa mãn: $\frac{2^a+2^b+1}{2^c-1}$ là số nguyên

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietdung109: 11-05-2020 - 23:39


#19 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 11-05-2020 - 16:07

Bài 12: để số đó nhận giá trị nguyên thì 7^n-1 chia hết cho 5 nên n có dạng 4k với k là số nguyên dương. Tức là 7^n-1+7^n-2+...+1 chia hết cho 6^n-1+6^n-2+...+1. Để ý rằng 6^n-1+6^n-2+...+1 chia hết cho 7 (sử dụng điều kiện n=4k và dùng đồng dư) nên suy ra không tồn tại số n thỏa mãn đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 11-05-2020 - 17:37

Nguyễn Thế Thành

#20 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 11-05-2020 - 16:31

 

Mọi người kiểm tra giúp em ạ

Giả sử k=AbC Trong đó A và C là các số tự nhiên, b là chữ số. Khi đó k`=AC

Ta có: k`=1/71k=> 71k`=k => 71AC = AbC

=> (10^n .A+C)=10^(n+1).A+10^n.b+C

=>[71. 10^n - 10^(n+1)].A+70.C=10^n.b

=>(710...00(n chứ số 0) - 100... 00(n chứ số 0)).A+70.C=10^n.b

=>6100…00(n chứ số 0).A+70C=10^n.b

Do b là chữ số =>b<10=>10^n.b<10^(n+1)=10...00(n chứ số 0)< 6100…00(n chứ số 0).A+70C=10^n.b (vô lí)

Vậy không tìm dược k

P/s: Em không chèn đc LaTex vào ạ

 

Bạn ơi nếu k = 71 thì sao ạ?







3 người đang xem chủ đề

1 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh