Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ NĂM HỌC 2019-2020

số học chuyên toán

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 102 trả lời

#21 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 11-05-2020 - 17:00

Bài 11: đặt $ab^{2n}-\frac{1}{a-b}=p$ với p nguyên tố $\Rightarrow ab^{2n}=pb(a-b)$. Đặt $gcd(a,b)=x$ thì $a=qx,b=kx$ với $q,k$ là các số nguyên dương và $gcd(q,k)=1$ và $q>k>=1$. Thay vào pt , biến đổi một chút ta đc $qk^{2n-1}x^{2n-1}=p(q-k)$. Để ý là $q-k$ bé hơn $q$ và khác 0 nên không chia hết cho $q$, từ đó chia các trường hợp.

TH1: $p=q$ và $q-k=k^{2n-1}x^{2n-1}$ từ đó $q=k(k^{2n-2}x{2n-1}+1)$ nên $q \vdots k$ nên $k=1$, nên $b=x$ hay $a=qb$.Thay trở lại đề bài ta đc $\frac{qb^{2n}}{b(q-1)}$ là số nguyên tố hay $b^{2n-1} \vdots q-1$ nên $b^{2n-1}={q-1} \Rightarrow a=q(q-1)$.Tiếp tục thay trở lại đề bài thì ta suy ra $q$ là số nguyên tố và $n=1$.

Xét tương tự ta đều suy ra $k=1$ từ đó ta có nghiệm tổng quát là $a=q(q-1)$ và $b=q-1$, $n=1$ với $q$ là 1 số nguyên tố. Xin lỗi mn, hôm nay mình xem lại mới thấy bài này mình thiếu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-05-2020 - 15:57
Latex

Nguyễn Thế Thành

#22 JenChooLiChaeng

JenChooLiChaeng

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Lê Đình Chinh,Thanh Hóa

Đã gửi 12-05-2020 - 00:25

 

Mọi người kiểm tra giúp em ạ

Giả sử k=AbC Trong đó A và C là các số tự nhiên, b là chữ số. Khi đó k`=AC

Ta có: k`=1/71k=> 71k`=k => 71AC = AbC

=> (10^n .A+C)=10^(n+1).A+10^n.b+C

=>[71. 10^n - 10^(n+1)].A+70.C=10^n.b

=>(710...00(n chứ số 0) - 100... 00(n chứ số 0)).A+70.C=10^n.b

=>6100…00(n chứ số 0).A+70C=10^n.b

Do b là chữ số =>b<10=>10^n.b<10^(n+1)=10...00(n chứ số 0)< 6100…00(n chứ số 0).A+70C=10^n.b (vô lí)

Vậy không tìm dược k

P/s: Em không chèn đc LaTex vào ạ

 

 

 

Bạn ơi nếu k = 71 thì sao ạ?

Giả sử k=AbC Trong đó A và C là các số tự nhiên, b là chữ số. Khi đó k`=AC

Ta có: k`=1/71k=> 71k`=k => 71AC = AbC

=> (10^n .A+C)=10^(n+1).A+10^n.b+C

=>[71. 10^n - 10^(n+1)].A+70.C=10^n.b

=>(710...00(n chứ số 0) - 100... 00(n chứ số 0)).A+70.C=10^n.b

=>6100…00(n chứ số 0).A+70C=10^n.b    (*)

Nếu A ≠ 0 thì:

Do b là chữ số =>b<10=>10^n.b<10^(n+1)=10...00(n chứ số 0)< 6100…00(n chứ số 0).A+70C=10^n.b (vô lí) 

Nếu A=0 thì :

(*) <=> 70C=10n.b <=> 7C=10n-1​.b. suy ra: 10n-1​.b:7 mà  (7,10)=1 nên (7,10n-1)=1 nên b : 7 => b=7 (Do b là chữ số)

=> 7C=10n-1​.7=>C=10n-1​=100..00(n-1 chữ số 0)

Vậy k=7100..00(n-1 chữ số 0)



#23 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 12-05-2020 - 21:55

Bài 13: Để $n.(1/1! +1/2! +...+1/n!) là số nguyên <=> $(n/2!+...+n/n!)$ là số nguyên. Quy đồng lên và chia cho n ta được: (3.4...n+4.5...n+...+n+1)/(n-1)! là số nguyên nên n+1 chia hết cho n-1. Từ đó ta dễ dàng tìm ra n=1, n=2 hoặc n=3 thì thỏa mãn đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 12-05-2020 - 21:56

Nguyễn Thế Thành

#24 Ngoc Tho 2005

Ngoc Tho 2005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Tâm lí học

Đã gửi 13-05-2020 - 20:35

Xử thử bài 1:
Bài 1: Xét $p=3\Rightarrow (*)\Leftrightarrow 18+q(q+3)=n(n+3)\Leftrightarrow 18=(n-q)(q+n+3)$
 Dễ thấy: $q+n+3>0\Rightarrow n>q;q+n+3>n-q+3>n-q$
 Ta có: +)$\left\{\begin{matrix} q+n+3=18 \\ n-q=1 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n=8 \\ q=7 \end{matrix} \right.$ (t/m)
           +)$\left\{\begin{matrix} q+n+3=9 \\ n-q=2 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n=4 \\ q=2 \end{matrix} \right.$ (t/m)
 Tương tự với $q=3$
 Xét $p;q\not= 3\Rightarrow p(p+3)\equiv 1(\mod 3);q(q+3)\equiv 1(\mod 3)\Rightarrow n(n+3)\equiv 2(\mod 3)$ (vô lí vì $n(n+3)\equiv 0;1(\mod 3)$ )
 $\Rightarrow p;q\not= 3$ không thỏa mãn.
Vậy.....

Bạn ơi cái khúc xét p;q khác 3,mk cứ thấy sao sao, nếu q, p khác 3 là không thỏa mãn thì ko được nhận p=7 ư?

Cái giá của việc giữ kỷ luật luôn luôn thấp hơn nỗi đau của niềm hối tiếc  :B)  :B)  :B)

                                                             


#25 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 13-05-2020 - 20:58

Bài 15: (mình thay lại bài khác vậy): tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x!+y!+z!=u!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 13-05-2020 - 21:13

Nguyễn Thế Thành

#26 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 13-05-2020 - 21:02

Bài 16:CMR không tồn tại các số x,y,z,y,u thỏa mãn: $x^2$+$y^2$=$(x+1)^2$+$z^2$=$(x+2)^2$+$t^2=$(x+3)^2+$u^2$
Nguyễn Thế Thành

#27 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 13-05-2020 - 21:25

Bài 17: tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^3$+$y^3$=$(x+y)^2$+$(xy)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 13-05-2020 - 21:32

Nguyễn Thế Thành

#28 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Hình học,Bất đẳng thức và Tuyển thẳng

Đã gửi 13-05-2020 - 21:51

Ủa,không ai giải bài 10 hả :( :

Bài 10:

Ta chứng minh với y>5 không tồn tại nghiệm x nguyên dương

Giả sử tồn tại nghiệm x nguyên dương vói y>5

Ta có:$y^{x}$-1=(y-1)! <=>(y-1)($y^{x-1}$+$y^{x-2}$+...+1)=(y-1)!

<=>$y^{x-1}$+$y^{x-2}$+...+1=(y-2)!

TA có:2<$\frac{y-1}{2}$<y-2 =>(y-1)/(y-2)!

Ta có:$y^{i}$ đồng dư với 1(mod y-1)

Do đó:$y^{x-1}$+$y^{x-2}$+...+1 đồng dư vói x(mod y-1)=>(y-1)/x=>$x\geq$y-1(1)

Mà $(y-1)^{x-1}$<$y^{x-1}$+...+1=(y-2)!<$(y-2)^{y-2}$=>x<y-1(vô lí với (1))

Suy ra điều gs là sai

Đến đây dễ rùi :icon6:


"Đừng tìm kiếm lỗi sai, hãy tìm kiếm giải pháp''


#29 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 13-05-2020 - 21:58

Mình giải bài 10 ở trên rồi đó bạn
Nguyễn Thế Thành

#30 binhthanh

binhthanh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-05-2020 - 23:38

mk xin phép đưa ra lời giải Bài 2 của mk ( mk cx chx bt đúng ko ):

Ta có:

$m^{2}=n!+505\geq 506\Rightarrow m\geq \sqrt{506}>22$

Nên $n!=m^2-505$>24 \Rightarrow n> 4$

-Với n=4 thì  suy ra m = 23

-Với n=5 thì suy ra m=25

-Với n=6 thì m=35

- Với n =7,8,9,10,11,12 thay vào thì ko thỏa mãn

-với n$\geqslant 13$ thì $n!\vdots 13\Rightarrow n!+505\equiv 11 (mod13)$ (*)

Mà SCP chia 13 ko dư 11

Suy ra (*) mâu thuẫn nên tồn tại n nguyên và n$\geq$7 thỏa mãn bài toán

Kết Luận:.......

n=20 -> m=1559776269 (thỏa mãn ?)



#31 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 14-05-2020 - 00:02

Bài 18: Cho hai số nguyên dương x,y thỏa $x^2$-4y+1 chia hết cho (x-2y)(2y-1). CMR |x-2y| là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 14-05-2020 - 00:08

Nguyễn Thế Thành

#32 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 14-05-2020 - 00:03

Bài 19: Tìm tất cả các số nguyên $n>=4$ sao cho n+1 chia hết cho [$ căn n$]-1 và n-1 chia hết cho [$ căn n$]+1 với [ căn n] là số nguyên lớn nhất không vượt quá căn n
Mọi người tha hồ thức thâu đêm nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 14-05-2020 - 00:09

Nguyễn Thế Thành

#33 JenChooLiChaeng

JenChooLiChaeng

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Lê Đình Chinh,Thanh Hóa

Đã gửi 14-05-2020 - 01:46

Bài 15: (mình thay lại bài khác vậy): tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x!+y!+z!=u!

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $0<x!\leq y!\leq z!<u!$

- Ta có: $x!+y!+z!=u!$                (*)

$\Leftrightarrow 1+\frac{y!}{x!}+\frac{z!}{x!}=\frac{u!}{x!}$   (1)

- Do $\frac{u!}{x!}\vdots \frac{y!}{x!};\frac{z!}{x!}\vdots \frac{y!}{x!}$ (vì $0<x!\leq y!\leq z!<u!$) nên từ (1) suy ra $1\vdots \frac{y!}{x!}$

$\Rightarrow \frac{y!}{x!}=1$ 

- Khi đó: (*)  $\Leftrightarrow 2+\frac{z!}{x!}=\frac{u!}{x!}$

Chứng minh tương tự. ta có: $\frac{z!}{x!}\in \left \{ 1;2 \right \}$

Th1: $\frac{z!}{x!}=1$ 

- Khi đó: (*) $\Leftrightarrow \frac{u!}{x!}=3$

$\Leftrightarrow (x+1)(x+2)...u=3$ , không thể viết thành tích các số tự nhiên liên liếp

$\Rightarrow x+1=u=3\Rightarrow x=2.$ Kết hợp với điều kiện $0<x!\leq y!\leq z!<u!$, ta có: x=y=z=2, u=3 (thỏa mãn (*))

Th2: $\frac{z!}{x!}=2$ 

- Khi đó: (*) $\Leftrightarrow \frac{u!}{x!}=4$

$\Leftrightarrow (x+1)(x+2)...u=4$ , không thể viết thành tích các số tự nhiên liên liếp

$\Rightarrow x+1=u=4\Rightarrow x=3. Kết hợp với điều kiện $0<x!\leq y!\leq z!<u!$ ,ta có: x=y=z=3, u=4 (không thỏa mãn (*))

Vậy phương trình (*) có nghiệm nguyên dương $(x,y,z,u)$ duy nhất $(2;2;2;3)$



#34 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:thích vẽ , thích bđt và số học

Đã gửi 14-05-2020 - 15:01

n=20 -> m=1559776269 (thỏa mãn ?)

mk hơi thắc mắc là nếu là 20! +505 thì m phải chia hết cho 5 chứ nhỉ =))



#35 JenChooLiChaeng

JenChooLiChaeng

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Lê Đình Chinh,Thanh Hóa

Đã gửi 14-05-2020 - 23:28

mk hơi thắc mắc là nếu là 20! +505 thì m phải chia hết cho 5 chứ nhỉ =))

n=20 thì chính xác là m= 1559776268,6284980483511851339498

Dùng Caculator trên máy tính á bạn

Dùng Casio nó tự làm tròn khi kết quả có phần nguyên 10 chữ số đấy



#36 RyuseiKento

RyuseiKento

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Anime, Bóng đá, Hình học

Đã gửi 15-05-2020 - 17:32

Bạn ơi cái khúc xét p;q khác 3,mk cứ thấy sao sao, nếu q, p khác 3 là không thỏa mãn thì ko được nhận p=7 ư?

Trường hợp cả $p,q$ đều $\not=3$ nha bạn! Mình nghĩ bạn sprit1234 làm đúng rồi đó.

 

 

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m, n)$ thỏa mãn: $n! + 505 = m^2$.

Nguồn

 

n=20 -> m=1559776269 (thỏa mãn ?)

 

mk hơi thắc mắc là nếu là 20! +505 thì m phải chia hết cho 5 chứ nhỉ =))

Mình nghĩ bạn vietdung109 và bạn JenChooLiChaeng nói đúng đó. $20!+505$ rõ ràng chia hết cho $5$ làm sao $m$ có tận cùng là $9$ đc. Cái này chắc do lỗi của Casio khi thực hiện những phép tính lớn. (Bạn bấm 123456789123456789123456789-123456789123456789132456789 nó cũng ra $=0$ :icon6: )

Và bài này cũng không cần đến $n\geq 13$ đâu bạn vietdung109 nhỉ!

Trường hợp $n\geq 10$ $\Rightarrow VT\vdots 5$ nên $m^2\vdots 5 \Rightarrow m^2\vdots 25$. Khi $n\geq 10$ thì $n!\vdots 25$ mà $505 \not \vdots 25 \Rightarrow VT\not=VP$ nên $n\geq 10$ không thỏa mãn. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RyuseiKento: 15-05-2020 - 19:48


#37 RyuseiKento

RyuseiKento

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Anime, Bóng đá, Hình học

Đã gửi 15-05-2020 - 19:46

Bài 15: (mình thay lại bài khác vậy): tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x!+y!+z!=u!

 

Mình xin đưa ra cách 2 của bài này, không biết có đúng không.

Lời giải:

-Giả sử $x\leq y\leq z$. Khi đó: $u!=x!+y!+z!\leq 3z!$.

-Lại có: $x!+y!+z!\geq 3$ nên: $u!\geq 3 \Rightarrow u\geq 3$

$+)TH1: u=3 \Rightarrow x!+y!+z!=u!=6 \Rightarrow z\leq 2$. (Nếu $z>2$ thì không thỏa mãn $x,y \in N$*)

-Lại có: $u!=6\leq 3z! \Rightarrow 2\leq z! \Rightarrow z\geq 2$

-Suy ra: $z=2$. Chứng minh tương tự, ta đc: $x=y=2$.

$+)TH2: u>3$. Mà :$u!\leq 3z!$ và:$z!<u!$ nên không tồn tại $u,z \in N$*.

-Vậy pt có nghiệm $(x,y,z,u)$ là: $(2,2,2,3)$.

 

**)Chú ý: Đề nghị một số bạn không spam, làm loãng Topic như nội quy. Nếu có vấn đề về một bài giải của bạn nào đó, vui lòng nhắn tin trực tiếp cho bạn giải bài đó hoặc mình. Nếu không mình sẽ báo cáo các trường hợp vi phạm lên ĐHV.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RyuseiKento: 16-05-2020 - 11:09


#38 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Hình học,Bất đẳng thức và Tuyển thẳng

Đã gửi 15-05-2020 - 21:54

Cho bài này cho nó oách,nhé!
Câu 20:Tìm các số nguyên dương x,y thoả mãn
$x^5$-$y^5$-xy=32
Tìm x,y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocthai0974767675: 15-05-2020 - 21:57

"Đừng tìm kiếm lỗi sai, hãy tìm kiếm giải pháp''


#39 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:thích vẽ , thích bđt và số học

Đã gửi 15-05-2020 - 23:06

Cho bài này cho nó oách,nhé!
Câu 20:Tìm các số nguyên dương x,y thoả mãn
$x^5$-$y^5$-xy=32
Tìm x,y

PT$\Leftrightarrow (x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)=xy+32>0$

Nên x > y mà x,y nguyên dương nên x - y > 1

nên :

$xy+32=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)\geqslant 1.5.\sqrt[5]{x^{10}.y^{10}}=5x^2y^2$

$\Leftrightarrow 5x^2y^2-xy-32\leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{641}}{10}<xy<\frac{1+\sqrt{641}}{10}$

$\Rightarrow \frac{1-\sqrt{676}}{10}<xy<\frac{1+\sqrt{676}}{10}$

$\Rightarrow 0< xy< 2,7$

nên xy = 1 hoặc xy = 2

Với xy = 1.....

với xy = 2 ......

P/s: hình như mk từng đọc 1 bài kiểu vậy trên diễn đàn r thì phải hình như cx giống bài này ??? =))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 18-05-2020 - 19:28


#40 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Hình học,Bất đẳng thức và Tuyển thẳng

Đã gửi 16-05-2020 - 17:17

Thêm 1 vài bài nữa cho topic sôi nổi:

Câu 21:Cho các số nguyên a,b,c,d và số nguyên tố p thỏa mãn:$\frac{a^p+b^p}{c^p+d^p}=\frac{1}{p-1}$.CMR:a+b+c+d chia hết cho p.

Câu 22:Tìm các số tự nhiên m,n vá số nguyên tố $p\geq 5$ thỏa mãn:$m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)$

Câu 23:Tìm m,n nguyên dương thỏa mãn m!+n!=$m^n$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocthai0974767675: 17-05-2020 - 09:44

"Đừng tìm kiếm lỗi sai, hãy tìm kiếm giải pháp''






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, chuyên toán

3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh