Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ NĂM HỌC 2019-2020

số học chuyên toán

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 102 trả lời

#41 mailinh2k4

mailinh2k4

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:nghe nhạc, xem phim , đi du lịch...

Đã gửi 16-05-2020 - 17:34

giúp mik câu này vs: 

24. Tìm x, y tự nhiên sao cho $2(x^{2}+y^{2}-3x+2y)-1$ và $5(x^{2}+y^{2}+4x+2y+3)$ đều là các số chính phương 



#42 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:thích vẽ , thích bđt và số học

Đã gửi 16-05-2020 - 21:46

giúp mik câu này vs: 

24. Tìm x, y tự nhiên sao cho $2(x^{2}+y^{2}-3x+2y)-1$ và $5(x^{2}+y^{2}+4x+2y+3)$ đều là các số chính phương 

ĐỀ CHUYÊN NAM ĐỊNH 2019-2020 VÒNG 2 THÌ PHẢI 



#43 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:thích vẽ , thích bđt và số học

Đã gửi 16-05-2020 - 21:51

Thêm 1 vài bài nữa cho topic sôi nổi:

Câu 21:Cho các số nguyên a,b,c,d và số nguyên tố p thỏa mãn:$\frac{a^p+b^p}{c^p+d^p}=\frac{1}{p-1}$.CMR:a+b+c+d chia hết cho p.

ĐK $\Leftrightarrow p(a^p+b^p)=a^p+b^p+c^p+d^p\Rightarrow a^p+b^p+c^p+d^p\vdots p$

mà theo định lý nhỏ Fermat ta có: $x^p-x\vdots p$ (với p nguyên tố )

nên : $(a^p-a)+(b^p-b)+(c^p-c)+(d^p-d)\vdots p$ mà $a^p+b^p+c^p+d^p\vdots p \Rightarrow a+b+c+d\vdots p$ (đpcm)



#44 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 16-05-2020 - 22:39

Câu 23:Tìm m,n nguyên dương thỏa mãn m!+n!=$m^n$
Từ giả thiết ta suy ra n chia hết cho m . Đặt n=km với k là số nguyên dương ta đc m!.[1+(m+1)...km]=$m^n$ => m chia hết cho m-1 nên m bằng 2. Từ đó ta cũng suy ra n=2. Vậy (m;n)=(2;2) là nghiệm duy nhất thỏa mãn đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 16-05-2020 - 22:41

Nguyễn Thế Thành

#45 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 16-05-2020 - 23:06

Câu 22:Tìm các số tự nhiên m,n vá số nguyên tố
$p>=5$ thỏa mãn:m($4m^2$+m+12)=3($p^n$−1)
Do VP chia hết cho 3 nên m chia hết cho 3 hoặc m chia 3 dư 2. TH1: m chia hết cho 3 thì đặt m=3k viết lại giả thiết thành: ($m^2$+3)(4m+1)=3.$p^n$ nên $p^n$=(12k+1)($3k^2$+1) nên k=0 hay m=0, khi đó không tồn tại p,n thỏa mãn.
TH2: m chia 3 dư 2. Làm tương tự, đặt m=3k+2 từ đó ta có $p^n$=(9$k^2$+12k+7)(12k+9) vô lí. Vậy không tồn tại các số m,n,p thỏa mãn đề bài
Nguyễn Thế Thành

#46 mailinh2k4

mailinh2k4

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:nghe nhạc, xem phim , đi du lịch...

Đã gửi 17-05-2020 - 06:45

Câu 22:Tìm các số tự nhiên m,n vá số nguyên tố
$p>=5$ thỏa mãn:m($4m^2$+m+12)=3($p^n$−1)
Do VP chia hết cho 3 nên m chia hết cho 3 hoặc m chia 3 dư 2. TH1: m chia hết cho 3 thì đặt m=3k viết lại giả thiết thành: ($m^2$+3)(4m+1)=3.$p^n$ nên $p^n$=(12k+1)($3k^2$+1) nên k=0 hay m=0, khi đó không tồn tại p,n thỏa mãn.
TH2: m chia 3 dư 2. Làm tương tự, đặt m=3k+2 từ đó ta có $p^n$=(9$k^2$+12k+7)(12k+9) vô lí. Vậy không tồn tại các số m,n,p thỏa mãn đề bài

sao $p^{n} = (12k+1)(3k^{2}+1)$ lại => k=0 vậy bạn ?



#47 mailinh2k4

mailinh2k4

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:nghe nhạc, xem phim , đi du lịch...

Đã gửi 17-05-2020 - 06:50

câu 25. ko biết có đăng đúng topic ko nhỉ?

 cho $\overline{abc}$ là số nguyên tố  chứng minh rằng $ax^{2}+ bc + c =0$ không có nghiệm hữu tỷ



#48 Funimation

Funimation

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:ふにまちおん
  • Sở thích:あにめ

Đã gửi 17-05-2020 - 07:50

câu 25. ko biết có đăng đúng topic ko nhỉ?

 cho $\overline{abc}$ là số nguyên tố  chứng minh rằng $ax^{2}+ bc + c =0$ không có nghiệm hữu tỷ

 

Ta có $\Delta$=b2-4ac$\Delta$=b2-4ac

Xét $\Delta$$\geq 0\Delta \geq 0$

 

Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ nên $\Delta$=x2$\Delta$=x2

Suy ra (b+x)(b-x)=4ac(b+x)(b-x)=4ac

Vì b,x cùng tính chẵn lẻ nên b+x chẵn, b-x chẵn

Ta xét các TH sau:

{b+x=ab-x=4c{b+x=ab-x=4c

mà b+x$\geq$b-x$\Rightarrow$a$\geq$4cb +x$\geq$b -x $\Rightarrow$ a $\geq$ 4c nên c=1 (vì c lẻ)

Thay c=1 vào ta được: {b=a2+2x=a2-2{b=a2+2x=a2-2

Thể vào ta tìm được a= 0 (vô lí)

Xét {b+x=2acb-x=2{b+x=2acb-x=2

Tương tự ta cũng có: 2ac $\geq$2$\Rightarrow$ac$\geq$1$\Rightarrow$a=1;c=12ac$\geq$2$\Rightarrow$ac$\geq$1$\Rightarrow$a=1;c=1

Tính được b = 2 khi đó $\overline{abc}$=121=112ab$\overline{c}$=121=112 không phải là số nguyên tố

Xét {b+x=2ab-x=2c{b+x=2ab-x=2c

Ta chứng minh được a > c

$\Rightarrow$ b=a+c

Khi đó $\overline{abc}$=110a+11c$\vdots$ 11ab$\overline{c}$=110a+11c$\vdots$11 không phải là số nguyên tố

Vậy điều giả sử sai nên ta có đpcm

( chú thích: bài này em đã từng đọc trên mạng nhưng không nhớ nguồn ạ, em xin lỗi ạ)


純粋な数学は、それ自体、論理的思考の詩です。

 

                                                                                                     不に町音 :closedeyes: 


#49 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 17-05-2020 - 08:19

sao $p^{n} = (12k+1)(3k^{2}+1)$ lại => k=0 vậy bạn ?

p nguyên tố mà bạn, gcd(12k+1;3$k^2$+1)=gcd(k;4) nhưng p>=5 nên gcd hai số ấy là 1 nên có 1 số bằng 1 bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 17-05-2020 - 08:25

Nguyễn Thế Thành

#50 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Hình học,Bất đẳng thức và Tuyển thẳng

Đã gửi 17-05-2020 - 09:43

Mấy chế giỏi số học nhỉ,chém ghê quá! :ohmy: Góp luôn vài bài nữa:

Câu 26:Cho số nguyên tố p và số tự nhiên n.CMR:phương trình sau vô nghiệm nguyên dương:$\frac{x^2+x}{y^2+y}=p^{2n}$

Câu 27:Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho tập hợp S={n+1;n+2;...;n+6} được chia thành 2 tập con rời nhau mà tích các phần tử của 2 tập hợp bằng nhau

Câu 28:Giải phương trình nghiệm nguyên dương:$3^{x}$+$4^{y}$=$7^{z}$

Câu 29:Cho n là 1 số nguyên dương sao cho $3^{n}-1$ chia hết cho $2^{2016}$.Cmr:$n\geq 2^{2014}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocthai0974767675: 18-05-2020 - 18:35

"Đừng tìm kiếm lỗi sai, hãy tìm kiếm giải pháp''


#51 mailinh2k4

mailinh2k4

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:nghe nhạc, xem phim , đi du lịch...

Đã gửi 17-05-2020 - 14:11

Ta có $\Delta$=b2-4ac$\Delta$=b2-4ac

Xét $\Delta$$\geq 0\Delta \geq 0$

 

Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ nên $\Delta$=x2$\Delta$=x2

Suy ra (b+x)(b-x)=4ac(b+x)(b-x)=4ac

Vì b,x cùng tính chẵn lẻ nên b+x chẵn, b-x chẵn

Ta xét các TH sau:

{b+x=ab-x=4c{b+x=ab-x=4c

mà b+x$\geq$b-x$\Rightarrow$a$\geq$4cb +x$\geq$b -x $\Rightarrow$ a $\geq$ 4c nên c=1 (vì c lẻ)

Thay c=1 vào ta được: {b=a2+2x=a2-2{b=a2+2x=a2-2

Thể vào ta tìm được a= 0 (vô lí)

Xét {b+x=2acb-x=2{b+x=2acb-x=2

Tương tự ta cũng có: 2ac $\geq$2$\Rightarrow$ac$\geq$1$\Rightarrow$a=1;c=12ac$\geq$2$\Rightarrow$ac$\geq$1$\Rightarrow$a=1;c=1

Tính được b = 2 khi đó $\overline{abc}$=121=112ab$\overline{c}$=121=112 không phải là số nguyên tố

Xét {b+x=2ab-x=2c{b+x=2ab-x=2c

Ta chứng minh được a > c

$\Rightarrow$ b=a+c

Khi đó $\overline{abc}$=110a+11c$\vdots$ 11ab$\overline{c}$=110a+11c$\vdots$11 không phải là số nguyên tố

Vậy điều giả sử sai nên ta có đpcm

( chú thích: bài này em đã từng đọc trên mạng nhưng không nhớ nguồn ạ, em xin lỗi ạ)

1 cách khác cho bài này, nhưng mik ko hiểu từ đâu lại có  ý tưởng xét $4a.\overline{abc}$ . 97559204_262836651794375_305592150944592



#52 mailinh2k4

mailinh2k4

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:nghe nhạc, xem phim , đi du lịch...

Đã gửi 17-05-2020 - 14:14

Ta có $\Delta$=b2-4ac$\Delta$=b2-4ac

Xét $\Delta$$\geq 0\Delta \geq 0$

 

Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ nên $\Delta$=x2$\Delta$=x2

Suy ra (b+x)(b-x)=4ac(b+x)(b-x)=4ac

Vì b,x cùng tính chẵn lẻ nên b+x chẵn, b-x chẵn

Ta xét các TH sau:

{b+x=ab-x=4c{b+x=ab-x=4c

mà b+x$\geq$b-x$\Rightarrow$a$\geq$4cb +x$\geq$b -x $\Rightarrow$ a $\geq$ 4c nên c=1 (vì c lẻ)

Thay c=1 vào ta được: {b=a2+2x=a2-2{b=a2+2x=a2-2

Thể vào ta tìm được a= 0 (vô lí)

Xét {b+x=2acb-x=2{b+x=2acb-x=2

Tương tự ta cũng có: 2ac $\geq$2$\Rightarrow$ac$\geq$1$\Rightarrow$a=1;c=12ac$\geq$2$\Rightarrow$ac$\geq$1$\Rightarrow$a=1;c=1

Tính được b = 2 khi đó $\overline{abc}$=121=112ab$\overline{c}$=121=112 không phải là số nguyên tố

Xét {b+x=2ab-x=2c{b+x=2ab-x=2c

Ta chứng minh được a > c

$\Rightarrow$ b=a+c

Khi đó $\overline{abc}$=110a+11c$\vdots$ 11ab$\overline{c}$=110a+11c$\vdots$11 không phải là số nguyên tố

Vậy điều giả sử sai nên ta có đpcm

( chú thích: bài này em đã từng đọc trên mạng nhưng không nhớ nguồn ạ, em xin lỗi ạ)

bạn đánh lộn xộn quá mik ko hiểu được



#53 Funimation

Funimation

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:ふにまちおん
  • Sở thích:あにめ

Đã gửi 17-05-2020 - 21:03

Câu 28:

Lời giải :

 

Xét hơi nhiều trường hợp tý nhé !

$\boxed{1}$ Xét trường hợp $x < 0$ :

$\bullet$ $y > 0$ và $z > 0$ : Một vế nguyên, một vế không nguyên (loại)

$\bullet$ $y > 0$ và $z < 0$ : 

$\frac{1}{3^{|x|}}+4^{y}=\frac{1}{7^{|z|}}\Leftrightarrow 7^{|z|}+4^{y}.3^{|x|}.7^{|z|}=3^{|x|}$

Vô lí vì hiển nhiên $7^{|z|}+4^{y}.3^{|x|}.7^{|z|}>3^{|x|}$

$\bullet$ $y < 0$ và $z > 0$ :

$\frac{1}{3^{|x|}}+\frac{1}{4^{|y|}}=7^{z}\Leftrightarrow 3^{|x|}+4^{|y|}=7^{z}.3^{|x|}.4^{|y|}$

Một vế chẵn, một vế lẻ (loại)

$\bullet$ $y < 0$ và $z < 0$ :

$\frac{1}{3^{|x|}}+\frac{1}{4^{|y|}}=\frac{1}{7^{|z|}}\Leftrightarrow 7^{|z|}.(3^{|x|}+4^{|y|})=3^{|x|}.4^{|y|}$

Một vế chẵn, một vế lẻ (loại)

 

[Xét cho đủ trường hợp nếu như đề không đề cập đến nghiệm nguyên dương]

 

$\boxed{2}$ Xét trường hợp : $x\geq 0$ 

$\bullet$ $y\geq 0;z\geq 0$  (sẽ giải sau)

$\bullet$ $y\geq 0;z\leq 0$ : Một vế nguyên, một vế không nguyên (loại)

$\bullet$ $y\leq 0;z\geq 0$ : Một vế nguyên, một vế không nguyên (loại)

$\bullet$ $y\leq 0;z\leq 0$ : $3^{|x|}+\frac{1}{4^{|y|}}=\frac{1}{7^{|z|}}\Leftrightarrow 3^{|x|}.7^{|z|}.4^{|y|}+7^{|z|}=4^{|y|}$

Vô lí vì hiển nhiên $3^{|x|}.7^{|z|}.4^{|y|}+7^{|z|}>4^{|y|}$

 

Bây giờ ta sẽ giải trường hợp cả ẩn $x,y,z$ đều là những số nguyên dương

$\blacksquare$ Nếu $y\geq 2$ thì : $4^{y}\vdots 8$

Ta có : $3^{x}+4^{y}\equiv 1;3(mod8)$ mà $7^{z}\equiv 1;7(mod8)$

Do đó $7^{z}=3^{x}+4^{y}\equiv 1(mod8)\Rightarrow x,z$ chẵn

Đặt $x=2a;y=2b$ (với $a,b$ nguyên dương), ta được :

$$3^{2a}+2^{2y}=7^{2b}\Leftrightarrow (7^{b}-3^{a})(7^{b}-3^{a})=2^{2y}$$

Do đó :

$$\left\{\begin{matrix} 7^{b}-3^{a}=2^{m} & & \\ 7^{b}+3^{a}=2^{n} & & \end{matrix}\right.$$

Với $m,n$ tự nhiên và $m<n,m + n = 2y$

Trừ vế với vế :

$$2.3^{a}=2^{n}-2^{m}$$

$\Leftrightarrow 2.3^{a}=2^{m}(2^{n-m}-1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=1 & & \\ 2^{n-1}-1=3^{a}& & \end{matrix}\right.$

Xét riêng phương trình $2^{n-1}-1=3^{a}$. Bằng cách xét đồng dư mô-đun $3$, chỉ ra được $n-1$ chẵn.

Từ đó dễ tìm được $a=1;n=3;m=1$. Từ đó $y = 1$ (loại vì đang xét $y\geq 2$)

$\blacksquare$ Ta xét $y = 1$

Ta được phương trình : $$3^{x}+4=7^{z}$$

Dễ thấy khi $z = 1$ thì $x = 1$, ta xét $z > 1$

$\blacktriangledown$ Xét $z$ chẵn, thì $7^{z}\equiv 1(mod4)\Rightarrow 3^{x}+4\equiv 1(mod4)\Rightarrow x$ chẵn

Đặt $z=2m;y=2n$ ($m,n$ nguyên dương), thay vào thì : $(7^{m}-3^{n})(7^{m}+3^{n})=4$

Phương trình ước số này không cho nghiệm thỏa mãn

$\blacktriangledown$ Xét $z$ lẻ thì : $7^{z}\equiv 3(mod4)\Rightarrow 3^{x}+4\equiv 3(mod4)\Rightarrow x$ lẻ

Bằng cách đặt $x = 6k + r$ và xét đồng dư theo mô-đun $7$ ta dễ dàng tìm được $r=1$, tức $x = 6k+1$

Vì $x$ lẻ nên $$3^{x}\equiv 2;3(mod5)\Rightarrow 7^{z}=3^{x}+4\equiv 1;2(mod5)(\bigstar )$$

Vì $z$ lẻ nên đặt $z = 2z_{1}+1$, ta được : $$7^{z}=7^{2z_{1}+1}\equiv (-1)^{z_{1}}.7\equiv 2;3(mod5)(\blacklozenge )$$

Từ $(\blacklozenge )(\bigstar )$ suy ra :

$$(-1)^{z_{1}}.7\equiv 2(mod5)\Rightarrow z_{1}\vdots 2\Rightarrow z\equiv 1(mod4)$$

Ta có $y = 6k+1$ nên : 

$$7^{z}=3^{x}+4=3^{6k+1}+4\equiv 7(mod13)$$.

Đặt $z = 12t + r'$ thì $$7^{z}=7^{12t+r'}\equiv 7^{r'}\equiv 7(mod13)\Rightarrow r'=1\Rightarrow z=12t+1$$

 

Như vậy ta đã chứng minh xong $z = 12t+1$ và $x = 6k+1$

Từ phương trình đã cho, suy ra :

$$7^{z}-7=3^{x}-3\Leftrightarrow 7^{12t+1}-7=3^{6k+1}-3\Leftrightarrow 7(7^{12t}-1)=3(3^{6k}-1)$$

Ta thấy $VT\equiv 0(mod3);VP\equiv 6(mod9)$ (loại)

 

KẾT LUẬN : $\boxed{(x;y;z)=(1;1;1)}$

 

 

(Link giải bài :https://diendantoanh...-nguyên-3x4y7z/   - Em xin phép copy bài của anh "Juliel" vào đây ạ, nếu như không được thì em có thể xóa bài này ạ!)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Funimation: 17-05-2020 - 21:15

純粋な数学は、それ自体、論理的思考の詩です。

 

                                                                                                     不に町音 :closedeyes: 


#54 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:thích vẽ , thích bđt và số học

Đã gửi 17-05-2020 - 21:09

Câu 28:

Lời giải :

 

Xét hơi nhiều trường hợp tý nhé !

$\boxed{1}$ Xét trường hợp $x < 0$ :

$\bullet$ $y > 0$ và $z > 0$ : Một vế nguyên, một vế không nguyên (loại)

$\bullet$ $y > 0$ và $z < 0$ : 

$\frac{1}{3^{|x|}}+4^{y}=\frac{1}{7^{|z|}}\Leftrightarrow 7^{|z|}+4^{y}.3^{|x|}.7^{|z|}=3^{|x|}$

Vô lí vì hiển nhiên $7^{|z|}+4^{y}.3^{|x|}.7^{|z|}>3^{|x|}$

$\bullet$ $y < 0$ và $z > 0$ :

$\frac{1}{3^{|x|}}+\frac{1}{4^{|y|}}=7^{z}\Leftrightarrow 3^{|x|}+4^{|y|}=7^{z}.3^{|x|}.4^{|y|}$

Một vế chẵn, một vế lẻ (loại)

$\bullet$ $y < 0$ và $z < 0$ :

$\frac{1}{3^{|x|}}+\frac{1}{4^{|y|}}=\frac{1}{7^{|z|}}\Leftrightarrow 7^{|z|}.(3^{|x|}+4^{|y|})=3^{|x|}.4^{|y|}$

Một vế chẵn, một vế lẻ (loại)

 

$\boxed{2}$ Xét trường hợp : $x\geq 0$ 

$\bullet$ $y\geq 0;z\geq 0$  (sẽ giải sau)

$\bullet$ $y\geq 0;z\leq 0$ : Một vế nguyên, một vế không nguyên (loại)

$\bullet$ $y\leq 0;z\geq 0$ : Một vế nguyên, một vế không nguyên (loại)

$\bullet$ $y\leq 0;z\leq 0$ : $3^{|x|}+\frac{1}{4^{|y|}}=\frac{1}{7^{|z|}}\Leftrightarrow 3^{|x|}.7^{|z|}.4^{|y|}+7^{|z|}=4^{|y|}$

Vô lí vì hiển nhiên $3^{|x|}.7^{|z|}.4^{|y|}+7^{|z|}>4^{|y|}$

 

Bây giờ ta sẽ giải trường hợp cả ẩn $x,y,z$ đều là những số nguyên dương

$\blacksquare$ Nếu $y\geq 2$ thì : $4^{y}\vdots 8$

Ta có : $3^{x}+4^{y}\equiv 1;3(mod8)$ mà $7^{z}\equiv 1;7(mod8)$

Do đó $7^{z}=3^{x}+4^{y}\equiv 1(mod8)\Rightarrow x,z$ chẵn

Đặt $x=2a;y=2b$ (với $a,b$ nguyên dương), ta được :

$$3^{2a}+2^{2y}=7^{2b}\Leftrightarrow (7^{b}-3^{a})(7^{b}-3^{a})=2^{2y}$$

Do đó :

$$\left\{\begin{matrix} 7^{b}-3^{a}=2^{m} & & \\ 7^{b}+3^{a}=2^{n} & & \end{matrix}\right.$$

Với $m,n$ tự nhiên và $m<n,m + n = 2y$

Trừ vế với vế :

$$2.3^{a}=2^{n}-2^{m}$$

$\Leftrightarrow 2.3^{a}=2^{m}(2^{n-m}-1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=1 & & \\ 2^{n-1}-1=3^{a}& & \end{matrix}\right.$

Xét riêng phương trình $2^{n-1}-1=3^{a}$. Bằng cách xét đồng dư mô-đun $3$, chỉ ra được $n-1$ chẵn.

Từ đó dễ tìm được $a=1;n=3;m=1$. Từ đó $y = 1$ (loại vì đang xét $y\geq 2$)

$\blacksquare$ Ta xét $y = 1$

Ta được phương trình : $$3^{x}+4=7^{z}$$

Dễ thấy khi $z = 1$ thì $x = 1$, ta xét $z > 1$

$\blacktriangledown$ Xét $z$ chẵn, thì $7^{z}\equiv 1(mod4)\Rightarrow 3^{x}+4\equiv 1(mod4)\Rightarrow x$ chẵn

Đặt $z=2m;y=2n$ ($m,n$ nguyên dương), thay vào thì : $(7^{m}-3^{n})(7^{m}+3^{n})=4$

Phương trình ước số này không cho nghiệm thỏa mãn

$\blacktriangledown$ Xét $z$ lẻ thì : $7^{z}\equiv 3(mod4)\Rightarrow 3^{x}+4\equiv 3(mod4)\Rightarrow x$ lẻ

Bằng cách đặt $x = 6k + r$ và xét đồng dư theo mô-đun $7$ ta dễ dàng tìm được $r=1$, tức $x = 6k+1$

Vì $x$ lẻ nên $$3^{x}\equiv 2;3(mod5)\Rightarrow 7^{z}=3^{x}+4\equiv 1;2(mod5)(\bigstar )$$

Vì $z$ lẻ nên đặt $z = 2z_{1}+1$, ta được : $$7^{z}=7^{2z_{1}+1}\equiv (-1)^{z_{1}}.7\equiv 2;3(mod5)(\blacklozenge )$$

Từ $(\blacklozenge )(\bigstar )$ suy ra :

$$(-1)^{z_{1}}.7\equiv 2(mod5)\Rightarrow z_{1}\vdots 2\Rightarrow z\equiv 1(mod4)$$

Ta có $y = 6k+1$ nên : 

$$7^{z}=3^{x}+4=3^{6k+1}+4\equiv 7(mod13)$$.

Đặt $z = 12t + r'$ thì $$7^{z}=7^{12t+r'}\equiv 7^{r'}\equiv 7(mod13)\Rightarrow r'=1\Rightarrow z=12t+1$$

 

Như vậy ta đã chứng minh xong $z = 12t+1$ và $x = 6k+1$

Từ phương trình đã cho, suy ra :

$$7^{z}-7=3^{x}-3\Leftrightarrow 7^{12t+1}-7=3^{6k+1}-3\Leftrightarrow 7(7^{12t}-1)=3(3^{6k}-1)$$

Ta thấy $VT\equiv 0(mod3);VP\equiv 6(mod9)$ (loại)

 

KẾT LUẬN : $\boxed{(x;y;z)=(1;1;1)}$

 

 

(Link giải bài :https://diendantoanh...-nguyên-3x4y7z/   - Em xin phép copy bài của anh "Juliel" vào đây ạ, nếu như không được thì em có thể xóa bài này ạ!)

mk nghĩ bạn chỉ cần lấy phần x > 0 thôi vì x,y,z nguyên dương mà =))

 



#55 Funimation

Funimation

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:ふにまちおん
  • Sở thích:あにめ

Đã gửi 17-05-2020 - 21:25

mk hơi thắc mắc là nếu là 20! +505 thì m phải chia hết cho 5 chứ nhỉ =))

20! =1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20

mà : 20.(2.5).(3.15).10$\vdots$5

$\Rightarrow$20!$\vdots$5 

Hay ta còn có:

xem xét một vài ví dụ về giai thừa với các giá trị nhỏ của n :

 
  • 1! = 1
  • 2! = 2 x 1 = 2
  • 3! = 3 x 2 x 1 = 6
  • 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
  • 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
  • 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
  • 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
  • số 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320
  • 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880
  • 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.800

* Ta thấy từ giai thừ 5 trở đi là xuất hiện số 0 ở cuối nên theo dấu hiệu nhận biết thì 20!$\vdots$5 

Như vầy có đúng không ạ???


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Funimation: 17-05-2020 - 21:28

純粋な数学は、それ自体、論理的思考の詩です。

 

                                                                                                     不に町音 :closedeyes: 


#56 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 17-05-2020 - 22:42

Câu 26: từ giả thiết ta suy ra x(x+1)=$p^(2n)$y(y+1). Ta xét 2 trường hợp: x chia hết cho p hoặc x+1 chia hết cho p.
TH1: x chia hết cho p nên x=$p^(2n)$.r với r nguyên dương nên x+1=$p^(2n)$.r+1 ta suy ra r.[$p^(2n)$.r+1]=y(y+1). Dễ thấy gcd(r;$p^(2n)$.r+1)=1 và gcd(y;y+1)=1 nên ta chia trường hợp ra, các trường hợp đều dẫn đến điều vô lí.
TH2: x+1 chia hết cho p thì x+1=$p^(2n)$.q với q nguyên dương nên x=$p^(2n)$.q-1. Ta suy ra q.($p^(2n)$.q-1)=y(y+1). Làm tương tự như ở trên ta cũng suy ra đc điều vô lí nên ta có đpcm
Nguyễn Thế Thành

#57 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 17-05-2020 - 22:51

Câu 29: ta thấy $3^1$-1 chia hết cho $2^1$
$3^2$-1 chia hết cho $2^3$ cứ như thế ta có dự đoán rằng 3^(2^m)-1 chia hết cho 2^(m+2) và không chia hết cho 2^(m+3). Thật vậy, ta có 3^(2^m)-1=(3-1)(3+1)(3^2+1)...{3^[2^(m-1)]+1}. Ta thấy có m+1 số hạng và chỉ có 3+1 chia hết cho 4 còn các số còn lại chỉ chia hết cho 2 nên sẽ chỉ chia hết cho 2^(m+2) mà không chia hết cho 2^(m+3). Từ đó ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 17-05-2020 - 22:53

Nguyễn Thế Thành

#58 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:thích vẽ , thích bđt và số học

Đã gửi 18-05-2020 - 13:40

mk xin góp cho topic mấy bài =)

Bài 30 : Tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn: $x(x^2+x+1)=4^y-1$

Bài 31: Tìm x,y,z nguyên dương thỏa mãn : $\frac{2020}{x+y}+\frac{x}{2019+y}+\frac{y}{4039}+\frac{2019}{2020+x}=\frac{2}{z}$

Bài 32 : Cho a,b,c nguyên dương thỏa mãn $2^a=b^c+1$, a > 1.Tìm c thỏa mãn hệ thức trên

 

P/S: mk đang ko bt bài 30 liệu có tìm đc cả a,b,c luôn hay ko ??? mời các God =)))

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietdung109: 24-05-2020 - 00:25


#59 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 18-05-2020 - 18:11

Bài 32 có lẽ chỉ có c=1 là thỏa mãn, khi đó ta chọn a,b sao cho b=$2^a$-1 là đc, tức là có vô số a,b thỏa mãn đề bài với c=1
Lời giải. Từ giả thiết ta suy ra đc b là số lẻ b đồng dư 3 mod4(xét đồng dư mod 4 cả hai vế) và x là số lẻ. Đặt b=4k+3 thì ta có: $2^a$=(4k+3)^c+1=4(k+1)[(4k+3)^(c-1)-...+(4k+3)^2-(4k+3)+1] nên 2^(a-2)=(k+1)[(4k+3)^(c-1)-...-(4k+2)] , chú ý rằng (4k+3)^(c-1)-...-(4k+2) không chia hết cho 4(giải thích xem?) nên số này bằng 1(dẫn tới điều vô lí) và 2. Từ đó ta đc c=1 là nghiệm duy nhất. Khi đó ta chọn b sao cho b=$2^a$-1 là được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 18-05-2020 - 22:07

Nguyễn Thế Thành

#60 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 18-05-2020 - 22:09

Bài 33(phương trình vô định siêu việt): tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình: $2^x$-$3^y$=1.
Bài 16,17,18,19 của mình đăng lên có ai có đáp án chưa? Để mình đăng lời giải lên nhé! Được không vậy mn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 18-05-2020 - 22:37

Nguyễn Thế Thành





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, chuyên toán

4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh