Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ NĂM HỌC 2019-2020

số học chuyên toán

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 130 trả lời

#101 foreveryeuanh

foreveryeuanh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\text{Venus}$
  • Sở thích:$Free$ $Fire$ and $literature$

Đã gửi 01-06-2020 - 23:17

Bài 57 : Tìm các số nguyên dương a,m, p thỏa mãn $5^p-2^p=a^m$ trong đó p là một số nguyên tố và m>1  


                  No games , no life                       

 

 

 

                                               

 

 


#102 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:học và làm theo lời Bác Hồ dạy

Đã gửi 02-06-2020 - 18:04

Câu trả lời cho câu 49:

Bổ đề:Tích của 2 số có thể phân tích thành tổng 2 số chính phương có thể phân tích thành 2 số chính phương:

Chứng minh:Ta có $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$

$=>$bổ đề dã được chứng minh.

Ta có:$23^{1024}-18^{1024}=(23-18)(23+18)(23^2+18^2)(23^4+18^4)...(20^{512}+18^{512})=(2^2+1^2)(4^2+5^2)(23^2+18^2)...(23^{512}+18^{512})$

$=>$theo bổ đề thì bài toán đã được chứng minh

 

***Sao chẳng ai giải nhỉ,mk thấy dễ mà :lol: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocthai0974767675: 02-06-2020 - 18:05

 You only live once, but if you do it right, once is enough.


#103 JenChooLiChaeng

JenChooLiChaeng

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Lê Đình Chinh,Thanh Hóa

Đã gửi 03-06-2020 - 01:30

Câu 49:CMR: $23^{1024} -18^{1024}$ có thể phân tích thành tổng 2 số chính phương

 

Câu trả lời cho câu 49:

Bổ đề:Tích của 2 số có thể phân tích thành tổng 2 số chính phương có thể phân tích thành 2 số chính phương:

Chứng minh:Ta có $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$

$=>$bổ đề dã được chứng minh.

Ta có:$23^{1024}-18^{1024}=(23-18)(23+18)(23^2+18^2)(23^4+18^4)...(20^{512}+18^{512})=(2^2+1^2)(4^2+5^2)(23^2+18^2)...(23^{512}+18^{512})$

$=>$theo bổ đề thì bài toán đã được chứng minh

 

 

Mình thắc mắc ở chỗ theo bổ đề thì $23^1024-18^1024$ phải phân tích thành tổng của nhiều số chính phương chứ.



#104 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:học và làm theo lời Bác Hồ dạy

Đã gửi 03-06-2020 - 17:38

Không đâu bạn,bạn nhóm 2 tổng một lại phân tích thanh tổng 2 số chính phương,rồi nhóm vs cái thứ 3 phân tích thành tổng 2 số chính phương,rồi cứ thế thôi,chắc bạn hiểu lầm cách của mk

 You only live once, but if you do it right, once is enough.


#105 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:học và làm theo lời Bác Hồ dạy

Đã gửi 03-06-2020 - 17:48

Góp thêm 2 bài nữa nhé:
Câu 58:Tìm 2 số nguyên tố p,q thoả mãn:$p^3+q^3+1=p^2q^2$
Câu 59:Cho m,n là 2 số nguyên dương lẻ sao cho tổng của chúng chia hết cho 19 và hiệu 2 số đó chia hết cho 18. CMR:$(m^n+n^m)$ chia het cho 38

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocthai0974767675: 03-06-2020 - 17:48

 You only live once, but if you do it right, once is enough.


#106 TheThanh06092005

TheThanh06092005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đi chơi với bạn, làm toán

Đã gửi 03-06-2020 - 19:10

Lời giải bài 14 của mình: với c=1 thì a,b nguyên dương bất kì đều thỏa mãn bài toán. Với c=2 thì a,b là số nguyên dương chẵn sẽ thoả mãn. Xét trường hợp c>2.
Ta có $2^a$+$2^b$+$2^c$ chia hết cho $2^c$-1 nên 2^(a-c)+2^(b-c)+1 chia hết cho $2^c-1$ cứ làm như vậy đến khi ta được 2^(a'-c)+2^(b'-c)+1 chia hết cho 2^c-1 với a'<=2c và b'<= 2c. Ta cm được 2^(a'-c)+2^(b'-c)<4($2^c$-1) nên ta có 3 trường hợp. Các bạn tự xét các trường hợp nhé!( các bạn có ý kiến hay thắc mắc chỗ nào có thể nhắn tin riêng với mình nhé! ). Từ 3 trường hợp ta đều có với c=3 và a chia 3 dư 1, b chia 3 dư 2 thì thỏa mãn(lưu ý là vai trò a,b như nhau nên (a;b) là nghiệm thì (b;a) cũng là nghiệm). (Mấy bài kia mình làm được hết rồi mà chẳng có thời gian đăng lời giải, sau khi thi cấp 3 xong thì mình sẽ đăng nhé, có thể các bạn sẽ làm xong và đăng trước lúc ấy thôi)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TheThanh06092005: 04-06-2020 - 19:35

Nguyễn Thế Thành

#107 foreveryeuanh

foreveryeuanh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\text{Venus}$
  • Sở thích:$Free$ $Fire$ and $literature$

Đã gửi 03-06-2020 - 21:16

Bài 57 : Tìm các số nguyên dương a,m, p thỏa mãn $5^p-2^p=a^m$ trong đó p là một số nguyên tố và m>1  

                                                                  Bài làm

Ta có : $5^p-2^p$=3S ( trong đó S=$5^p-1+5^{(p-2)}.2$+....+$5.2^{p-2}$+$2^{p-1}$

Suy ra :$a^m$ chia hết cho 3 => a chia hết cho 3                   (1)

Mỗi số hạng trong dãy S có dạng $5^{p-1-i}.2^i$ , với i thuộc N và $0\leq i \leq p-1$

Ta thấy tổng của 3 số hạng liên tiếp trong S có dạng .......=$5^{p-3-k}.2{k}.39$(với $0 \leq k \leq p-3$) là số chia hết cho 3

Do đó nếu p chia cho 3 dư 1 hoặc 2 thi S chia cho 3 dư $2^{p-1}$ hoặc $5.2^{p-2}$+$2^{p-1}$ = $7.2^{p-2}$

Vì cả 2 số trên đều ko chia hết cho 3 nên S không chia hết cho 3 (vô lý vì trái vs (1)

Vậy p chia hết cho 3 

=>.......

Vậy không tìm đc các số m,p,a thõa mãn .

 

P/s : Còn có cách dùng đồng dư thức nữa . Anh /chị / bạn nào giúp em /mình đc ko ạ ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi foreveryeuanh: 09-06-2020 - 21:22

                  No games , no life                       

 

 

 

                                               

 

 


#108 JenChooLiChaeng

JenChooLiChaeng

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Lê Đình Chinh,Thanh Hóa

Đã gửi 04-06-2020 - 00:45

Bài 57 : Tìm các số nguyên dương a,m, p thỏa mãn $5^p-2^p=a^m$ trong đó p là một số nguyên tố và m>1  

Cách 2: Dùng đồng dư:

Ta có:$(5^p-2^p)\vdots 3\Rightarrow a^m\vdots 3$

Do $3$ nguyên tố nên $a\vdots 3$ mà $m>1$ $\Rightarrow a^m\vdots 9$$\Rightarrow (5^p-2^p)\vdots 9$  (*)

TH1: $p=2$ và $p=3$ (không thỏa mãn)

TH2: $p\neq 2,3$. Do $p$ nguyên tố nên $p=6k+1$ hoặc $p=6k+5$

Nêu $p=6k+1$ thì:$$5^p-2^p=5^{6k+1}-2^{6k+1}=5^{6k}.5-2^{6k}.2=5.15625^k-2.64^k\equiv 5.1-2.1\equiv 3(mod9)$$

$\Rightarrow 5^p-2^p\not\vdots 9$ (trái với (*))

Nêu $p=6k+5$ thì:$$5^p-2^p=5^{6k+5}-2^{6k+5}=5^{6k}.5^5-2^{6k}.2^5=3125.15625^k-32.64^k\equiv 2.1-5.1\equiv -3(mod9)$$

$\Rightarrow 5^p-2^p\not\vdots 9$ (trái với (*))

Vậy không tồn tại nghiệm $a,m,p$ thỏa mãn



#109 IDONTCARE

IDONTCARE

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Hàm Ninh , Quảng Bình
  • Sở thích:số học

Đã gửi 04-06-2020 - 02:02

Góp vui thêm vài bài nhé,dạo này bận quá:
Câu 47:Tìm p,q là số nguyên tố sao cho $p^{q+1}+q^{p+1}$ là số chính phương
Câu 48;CMR:phương trình $a^2+b^2+c^2=3abc$ có vô số nghiệm nguyên dương
Câu 49:CMR: $23^{1024} -18^{1024}$ có thể phân tích thành tổng 2 số chính phương
Câu 50:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:$4a^3+2b^3+c^3=6abc$

mình xin phép sol câu 49
23^1024-18^1024=(23-18)(23+18)(23^2+18^2)(23^4+18^4)....(23^512+18^512).
ta có 23-18=5=1+4=1+2^2 là tổng 2 số cp
23+18=41=25+16=5^2+4^2 là tổng 2 số cp
ta sẽ chứng minh 23^1024-18^1024=23^(2^10)-18^(2^10) là tổng 2 số chính phương bằng quy nạp
ta có 23^2-18^2=5.41=(1+2^2)(4^2+5^2)
ta có đẳng thức (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+db)^2+(ad-bc)^2
=>23^2-18^2=5.41=(1+2^2)(4^2+5^2)=(1.4+2.5)^2+(1.5-2.4)^2 là tổng 2 số chính phương
vậy với 2^1 thì 23^2-18^2 là tổng 2 số chính phương
giả sử mệnh đề đúng với k
=> 23^(2^k)-18^(2^k)=m^2+n^2
=> 23^(2^(k+1))-18^(2^(k+1))=(23^(2^k)-18^(2^k))(23^(2^k)+18^(2^k))=(m^2+n^2)(23^(2^k)+18^(2^k))=(m^2+n^2)((23^(2^(k-1)))^2+(18^(2^(k-1)))^2)=(m.23^(2^(k-1))+(n.18^(2^(k-1)))^2+(m.18^(2^(k-1))-n.23^(2^(k-1)))^2 là tổng 2 số chính phương
vậy mệnh đề đúng với k+1 => 23^(2^k)-18^(2^k) là tổng 2 cố chính phương với mọi k =>23^1024 -18^1024 =23^(2^10)-18^(2^10) là tổng 2 số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IDONTCARE: 04-06-2020 - 06:17


#110 DepressedGenius

DepressedGenius

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tiểu học Thái Phiên - Hải Phòng
  • Sở thích:Reeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

Đã gửi 14-06-2020 - 10:27

Em xin góp một bài khá hay ạ

  Câu 60:   Giải pt nghiệm nguyên dương: 3^x=2^x.y+1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DepressedGenius: 14-06-2020 - 16:14

MNOOB

Em cảm ơn luôn.


#111 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:thích bđt và số học

Đã gửi 14-06-2020 - 14:44

Góp vui thêm vài bài nhé,dạo này bận quá:
Câu 47:Tìm p,q là số nguyên tố sao cho $p^{q+1}+q^{p+1}$ là số chính phương
Câu 48;CMR:phương trình $a^2+b^2+c^2=3abc$ có vô số nghiệm nguyên dương
Câu 49:CMR: $23^{1024} -18^{1024}$ có thể phân tích thành tổng 2 số chính phương
Câu 50:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:$4a^3+2b^3+c^3=6abc$

 

Sau đây là lời giải bài 50 của mk xin ý kiến mn:

Ta thấy:

$4a^3+2b^3+c^3\geq 3\sqrt[3]{8x^3b^3c^3}=6abc$ (bđt cauchy)

- Dấu '' ='' xảy ra $\Leftrightarrow$ $\sqrt[3]{4}a=\sqrt[3]{2}b=c$ ( ktm do a,b, c là số nguyên dương )

Vậy pt vô nghiệm



#112 IDONTCARE

IDONTCARE

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Hàm Ninh , Quảng Bình
  • Sở thích:số học

Đã gửi 15-06-2020 - 22:15

Em xin góp một bài khá hay ạ

  Câu 60:   Giải pt nghiệm nguyên dương: 3^x=2^x.y+1

mình giải ra (x;y)=(1;1)(2;2)(4;5) nhưng h gõ latex lỗi nên tý nữa cmt sau mình sẽ gõ sol


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IDONTCARE: 15-06-2020 - 22:35


#113 IDONTCARE

IDONTCARE

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Hàm Ninh , Quảng Bình
  • Sở thích:số học

Đã gửi 15-06-2020 - 23:35

Em xin góp một bài khá hay ạ

  Câu 60:   Giải pt nghiệm nguyên dương: 3^x=2^x.y+1

mình xin phép giải câu này như sau xét x lẻ và x=1 dễ dàng giải ra y=1 , xét x$\geqslant 3$ và lẻ thì $3^{x}\equiv 3 (mod4)$ mà $2^{x}.y +1$ với $x\geqslant 3$ thì $2^{x}.y+1\equiv 1 (mod 4)$ nên x lẻ lớn hơn 1 thì loại => x chẵn 

ta có $3^x=2^x.y+1 <=> 3^x-1=2^x.y <=> y=(3^x-1)/2^x$

từ đây suy ra 3^x-1 chia hết cho 2^x 

ta sẽ chứng minh mệnh đề sau $\boldsymbol{3^{2^k}-1 \vdots 2^{k+2}}$ nhưng ko chia hết cho 2^(k+3) 

với k=1 thì 3^2-1=8 chia hết cho 8 nhưng k chia hết cho 16 nên mệnh đề đúng giả sử mệnh đề đúng với k=p khi đó $3^{2^{p}}-1 \vdots 2^{p+2}$ nhưng ko chia hết cho $2^{p+3}$ ta có$3^{2^p+1}-1=(3^{2^p}-1)(3^{2^p}+1)$ 

 $3^{2^p}-1 \vdots 2^{p+2}$ nhưng ko chia hết cho $2^{p+3}$ và $3^{2^p}+1$ chia hết cho 2 nhưng ko chia hết cho 4 nên $3^{2^{p+1}}-1 \vdots 2^{p+3}$ nhưng ko chia hết cho $2^{p+4}$ từ đây suy ra mệnh đề đúng theo nguyên lí quy nạp 

=> để $3^x-1 \vdots 2^{x}$ thì $x=2^t$ với $x=2^t$ thì $3^{2^{t}}-1 \vdots 2^{t+2}$ nhưng ko chia hết cho $2^{t+3}$ mà $3^{2^t}-1 \vdots 2^{2^t}=> 2^t\leqslant t+2$ từ đây dễ dàng giải ra t=1,2 cũng dễ cm với $t>2$ thì $2^{t}> t+2$ bằng quy nạp nên chỉ có t=1,2 thỏa mãn => x=2 và x=4 giải ra dc y=2 và y =5

=> phương trình có nghiệm (x;y)=(1;1)(2;2)(4;5)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IDONTCARE: 16-06-2020 - 00:22


#114 IDONTCARE

IDONTCARE

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Hàm Ninh , Quảng Bình
  • Sở thích:số học

Đã gửi 16-06-2020 - 13:55

Mình xin góp 1 bài nho nhỏ =))
Tìm x,y nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn 2(x^3-x)=y^3-y =))

#115 IDONTCARE

IDONTCARE

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Hàm Ninh , Quảng Bình
  • Sở thích:số học

Đã gửi 16-06-2020 - 17:09

Góp thêm 1 bài nữa
Giải pt nghiệm tự nhiên
X^3-y^3+3(x^2-y^2)+3(x-y)=(x+1)(y+1)+25

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IDONTCARE: 16-06-2020 - 17:16


#116 Death Doctor

Death Doctor

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Đông, Hà Nội
  • Sở thích:ONEPIECE ,AoV- thắng bại tại kĩ năng , Maths...

Đã gửi 16-06-2020 - 21:02

Góp thêm 1 bài nữa
Giải pt nghiệm tự nhiên
X^3-y^3+3(x^2-y^2)+3(x-y)=(x+1)(y+1)+25

$PT\Rightarrow (x+1)^3-(y+1)^3=(x+1)(y+1)+25$

$\Rightarrow (x-y)^3+3(x+1)(y+1)(x-y)=(x+1)(y+1)+25$

Đặt  $(x+1)(y+1)=a, x-y=b (a\epsilon \mathbb{N},b\epsilon \mathbb{Z})$

$PT\Rightarrow b^3+3ab=a+25$

$\Rightarrow a=\frac{b^3-25}{1-3b}$

 

$...$


" Why be a king , when you can be a god? "  - Eminem-


#117 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\mathbf{34}}$
  • Sở thích:★★⚽★★

Đã gửi 16-06-2020 - 22:16

Góp thêm 1 bài nữa
Giải pt nghiệm tự nhiên
X^3-y^3+3(x^2-y^2)+3(x-y)=(x+1)(y+1)+25N

Ngắn hơn Death Doctor một ít : 

$x+1=a;y+1=b\rightarrow PT: a^3-b^3=ab+25\rightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=ab+25\rightarrow a>b\rightarrow a-1\geq b\rightarrow (a-b)\geq 1$

$\rightarrow a^2+ab+b^2\leq ab+25 \rightarrow a^2+b^2\leq 25\rightarrow a< 5; a>b\rightarrow a\geq 2\rightarrow ab\geq 2\rightarrow a^3=b^3+25+ab>27\rightarrow a>3$

$\rightarrow 3<a<5\rightarrow a=4\rightarrow b=3\rightarrow x=3,y=2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 16-06-2020 - 22:20

"Nếu bạn lên kế hoạch xây dựng một ngôi nhà phẩm hạnh thật cao, trước tiên bạn phải đặt nền móng sâu bằng sự khiêm nhường." 

(Augustine)


#118 twin river

twin river

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 17-06-2020 - 01:38

Mình góp một bài

Bài 63. Cho $a,\,b$ là những số nguyên phân biệt, $m$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố sao cho $\gcd(a,\,m)=\gcd(b,\,m)=1$. Biết rằng $m$ là ước của (a^p-b^p)/(a-b). Chứng minh rằng $m^{2}-m$ chia hết cho $p$. :lol:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi twin river: 17-06-2020 - 21:50


#119 twin river

twin river

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 17-06-2020 - 01:57

Mình xin góp một bài nữa :lol:

Bài 64. CMR:$\gcd(n,\,2^{2^n}+1)=1$, với $n$ là một số nguyên dương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi twin river: 17-06-2020 - 21:51


#120 twin river

twin river

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 17-06-2020 - 14:36

mình góp bài này 

Bài 65. Cho 9 số nguyên dương sao cho tích của chúng không có quá 3 ước số nguyên tố. CMR tồn tại hai số có tích là một số chính phương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi twin river: 17-06-2020 - 21:51






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh