Đến nội dung

Hình ảnh

Xác suất để có ít nhất một số xuất hiện đúng một lần

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/ Có 10 đôi tất trong tủ. Chọn ngẫu nhiên 8 chiếc tất. Với mỗi $i$, tính xác suất để có được đúng $i$ đôi tất hoàn chỉnh.
2/ Chọn ngẫu nhiên từng chữ số của một số tự nhiên có 5 chữ số (từ các chữ số 1,...,9). Tính xác suất để không có chữ số nào xuất hiện quá hai lần.
3/ Tung một xúc xắc 10 lần. Tính xác suất để có ít nhất một số xuất hiện đúng một lần.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 17-10-2022 - 18:04

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

1/ Có 10 đôi tất trong tủ. Chọn ngẫu nhiên 8 chiếc tất. Với mỗi $i$, tính xác suất để có được đúng $i$ đôi tất hoàn chỉnh.

Chọn $i$ đôi tất (hoàn chỉnh) trong số $10$ đôi tất (với $i$ từ $0$ đến $4$) : $C_{10}^i$ cách.

Chọn $8-2i$ "đôi tất chưa hoàn chỉnh" (tức là sẽ chỉ có $1$ chiếc) trong số 10-i đôi tất còn lại : $C_{10-i}^{8-2i}$ cách.

Chọn $1$ trong $2$ chiếc trong 8-2i "đôi tất chưa hoàn chỉnh" đó : $2^{8-2i}$ cách.

Vậy xác suất được đúng $i$ đôi tất hoàn chỉnh là $\frac{C_{10}^i.C_{10-i}^{8-2i}.2^{8-2i}}{C_{20}^8}$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

2/ Chọn ngẫu nhiên từng chữ số của một số tự nhiên có 5 chữ số (từ các chữ số 1,...,9). Tính xác suất để không có chữ số nào xuất hiện quá hai lần.

Gọi $A$ là biến cố "không có chữ số nào xuất hiện quá $2$ lần",

       $A_i$ là biến cố "có chữ số xuất hiện đúng $i$ lần".

Ta tính $n(A_3)$ :

Chọn $3$ vị trí trong số $5$ vị trí : $C_5^3=10$ cách.

Điền một chữ số $k$ nào đó (từ $1$ đến $9$) vào cả $3$ vị trí vừa chọn : $9$ cách.

Điền các chữ số tùy ý (chỉ cần từ $1$ đến $9$ và khác $k$) vào $2$ vị trí còn lại $8^2=64$ cách.

$\Rightarrow n(A_3)=10.9.64=5760$.

Tương tự, dễ dàng tính được $n(A_4)=C_5^4.9.8=360$ và $n(A_5)=9$

Suy ra $n(A)=9^5-5760-360-9=52920$ và $P(A)=\frac{52920}{9^5}\approx 0,8962$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

3/ Tung một xúc xắc 10 lần. Tính xác suất để có ít nhất một mặt xuất hiện đúng một lần.

Gọi số lần xuất hiện mặt $i$ chấm là $x_i$. Ta có :

$x_1+x_2+x_3+...+x_6=10$    $(^*)$

Phương trình $(^*)$ có $M=C_{15}^5=3003$ nghiệm nguyên không âm. Trong đó, gọi $M_i$ là số nghiệm có ĐÚNG $i$ ẩn nhận giá trị $1$.

Ta tính $M_5$ :

Chọn $5$ trong $6$ số hạng : $C_6^5$ cách. ($5$ số hạng này sẽ nhận giá trị $1$)

Gán giá trị cho số hạng còn lại : $1$ cách (chỉ có thể gán giá trị $5$)

$\Rightarrow M_5=1.C_6^5=6.$

Tính $M_4$ :

Chọn $4$ trong $6$ số hạng : $C_6^4$ cách. ($4$ số hạng này sẽ nhận giá trị $1$)

Gán giá trị (khác $1$) cho $2$ số hạng còn lại : $5$ cách.

(Phương trình $a+b=6$ chỉ có $5$ nghiệm nguyên không âm thỏa mãn $a\neq 1,b\neq 1$)

$\Rightarrow M_4=5.C_6^4=75$.

Tính $M_3$ :

Chọn $3$ trong $6$ số hạng : $C_6^3$ cách.

Gán giá trị (khác $1$) cho $3$ số hạng còn lại : $C_9^2-5C_3^1-1C_3^2=18$ cách.

(Phương trình $a+b+c=7$ có $C_9^2$ nghiệm nguyên không âm, trong đó có $5C_3^1$ nghiệm có đúng $1$ ẩn bằng $1$ và $1C_3^2$ nghiệm có đúng $2$ ẩn bằng $1$)

$\Rightarrow M_3=18.C_6^3=360$.

Tính $M_2$ :

Chọn $2$ trong $6$ số hạng : $C_6^2$ cách.

Gán giá trị (khác $1$) cho $4$ số hạng còn lại : $C_{11}^3-18C_4^1-5C_4^2-1C_4^3=59$ cách.

(Phương trình $a+b+c+d=8$ có $C_{11}^3$ nghiệm nguyên không âm, trong đó có $18C_4^1$ nghiệm có đúng $1$ ẩn bằng $1$, $5C_4^2$ nghiệm có đúng $2$ ẩn bằng $1$ và $1C_4^3$ nghiệm có đúng $3$ ẩn bằng $1$)

$\Rightarrow M_2=59.C_6^2=885$.

Tương tự, tính được $M_1=185.C_6^1=1110$.

Đáp án là $P=\frac{M_1+M_2+...+M_5}{M}=\frac{2436}{3003}\approx 0,8112$.

 

 

 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
@chanhquocnghiem:
Em chỉ biết nói là : Tuyệt vời!
========
Bài 3: em tính trực tiếp luôn :
Gọi $A_{i}$ là biến cố số $i$ xuất hiện đúng một lần sau 10 lần tung xúc xắc. Theo nguyên lý bù trừ, XS cần tìm là :
$\begin {align*}
P\left ( \bigcup_{i=1}^{6}A_{i} \right )&=C_{6}^{1}P(A_{1})\\&-C_{6}^{2}P(A_{1}\cap A_{2})\\&+C_{6}^{3}P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})\\&-C_{6}^{4}P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})\\&+C_{6}^{5}P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\cap A_{5})\\&-C_{6}^{6}P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\cap A_{5}\cap A_{6})\\&=C_{6}^{1}A_{10}^{1}\frac{5^9}{6^{10}}\\&-C_{6}^{2}A_{10}^{2}\frac{4^8}{6^{10}}\\&+C_{6}^{3}A_{10}^{3}\frac{3^7}{6^{10}}\\&-C_{6}^{4}A_{10}^{4}\frac{2^6}{6^{10}}\\&+C_{6}^{5}A_{10}^{5}\frac{1}{6^{10}}\\&-0
\end {align*}$
Các bạn giúp mình bấm máy tính tiếp để ra kết quả cụ thể nhé!
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh