Đến nội dung

Hình ảnh

Tính $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{2n+1}\sum_{i=1}^{n}\frac{u_{i}^{2}}{1+u_{i}^{2}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Cho dãy số (un) được xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2023 & \\ u_{n+1}=\frac{2022u_{n}^{3}+2022u_{n}}{2022u_{n}^{2}-u_{n}+2022} & \end{matrix}\right.$, $\forall n\in N$*. Tính $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{2n+1}\sum_{i=1}^{n}\frac{u_{i}^{2}}{1+u_{i}^{2}}$

P/s: Cần gấp ạ  :( 


Dư :unsure: Hấu   


#2
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Ta có: $u_{n+1}=\frac{2022u_{n}(u_{n}^{2}+1)}{2022(u_{n}^{2}+1)-u_{n}}$

$\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{2022(u_{n}^{2}+1)}\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})\Leftrightarrow \frac{-u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})-1$

Có: $\sum_{i=1}^{n}\frac{u_{i}^{2}}{u_{i}^{2}+1}=n-2022(\frac{1}{u_{1}}-\frac{1}{u_{n+1}})$

$lim \frac{1}{2n+1}\sum_{i=1}^{n}\frac{u_{i}^{2}}{u_{i}^{2}+1}=lim\frac{n-\frac{2022}{2023}}{2n+1}=\frac{1}{2}$


Dư :unsure: Hấu   


#3
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Ta có: $u_{n+1}=\frac{2022u_{n}(u_{n}^{2}+1)}{2022(u_{n}^{2}+1)-u_{n}}$

$\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{2022(u_{n}^{2}+1)}\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})\Leftrightarrow \frac{-u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})-1$

Có: $\sum_{i=1}^{n}\frac{u_{i}^{2}}{u_{i}^{2}+1}=n-2022(\frac{1}{u_{1}}-\frac{1}{u_{n+1}})$

$lim \frac{1}{2n+1}\sum_{i=1}^{n}\frac{u_{i}^{2}}{u_{i}^{2}+1}=lim\frac{n-\frac{2022}{2023}}{2n+1}=\frac{1}{2}$

Hình như

$\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{u_i^2}{u_i^2 + 1} = 1 + 2 + ... + n - 2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

$ = \dfrac{n(n+1)}{2} -  2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

Thế này mới đúng chứ do $i$ chạy từ $1$ đến $n$ cơ mà


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 15-01-2023 - 16:29


#4
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Hình như

$\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{u_i^2}{u_i^2 + 1} = 1 + 2 + ... + n - 2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

$ = \dfrac{n(n+1)}{2} -  2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

Thế này mới đúng chứ do $i$ chạy từ $1$ đến $n$ cơ mà

Bạn xem kĩ lại xem Ở dạng tổng quát n thì  $\frac{-u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})-1$

Do đó chạy từ 1 tới n tổng cộng lại chỉ có n ( tại mọi i thì cái giá trị 1 đấy k thay đổi )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 15-01-2023 - 18:28

Dư :unsure: Hấu   


#5
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Bạn xem kĩ lại xem Ở dạng tổng quát n thì  $\frac{-u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})-1$

Do đó chạy từ 1 tới n tổng cộng lại chỉ có n ( tại mọi i thì cái giá trị 1 đấy k thay đổi )

Sao cho $n$ mà lại bắt tìm giới hạn khi $x \to +\infty$ nhỉ :D

 

Srry bạn t nhầm chút

Theo như ta tìm được ở trên thì

 

$\dfrac{u_1^2}{u_1^2 +1} = 1 - 2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_2})$

 

$\dfrac{u_2^2}{u_2^2 +1} = 1 - 2022(\dfrac{1}{u_2} - \dfrac{1}{u_3})$

 

$............................$

 

$\dfrac{u_n^2}{u_n^2 +1} = 1 - 2022(\dfrac{1}{u_{n}} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

Khi đó :

 

$\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{u_i^2}{u_i^2+1}$

 

$= \underbrace{1+1+1+...+1}_{n} - 2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_2} + \dfrac{1}{u_2} - \dfrac{1}{u_2} + ... + \dfrac{1}{u_{n}} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

$= n - 2022(\dfrac{1}{u_1}  - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

thnk u bn nhen :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 15-01-2023 - 23:26





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh