Cho số nguyên tố p (p>3) và hai số nguyên dương a, b sao cho p^2 + a^2 = b^2. Chứng minh a chia hết cho 12 và 2(p+a+1) là số chính phương
Số học
Bắt đầu bởi Tuyetminh2609, 10-05-2020 - 13:34
Chủ đề này có 2 trả lời
#2
Death Doctor
-
- Thành viên mới
-
- 35 Bài viết
Binh nhất
- Giới tính:Nam
- Đến từ:Hà Đông, Hà Nội
- Sở thích:ONEPIECE ,AoV- thắng bại tại kĩ năng , Maths...
Đã gửi 10-05-2020 - 16:42
Ta có: $p>3$$\Leftrightarrow p^{2}\equiv 1 (mod 3)$
Mà $a^{2}\equiv 0,1(mod 3)$$\Rightarrow p^{2}+a^{2}\equiv 1,2 (mod 3)$
=> $b^{2}\equiv 1,2 (mod 3)$ => $b^{2}\equiv 1( mod 3) vì b^{2}\not\equiv 2 (mod 3)$
=>$a^{2}\equiv 0 (mod 3)\Rightarrow a\vdots 3$
CMTT suy ra $a \vdots 4$ => a chia hết cho 12
+) $p^2+a^2=b^2\Leftrightarrow p^2=(b-a)(b+a)$
Mà p là số nguyên tố , a,b dương
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b-a=1 & & \\ a+b=p^2 & & \end{matrix}\right.$
=> 2a+1= p2 => 2(a+p+1)=p2+2p+1 =(p+1)2 là số chính phương ( DPCM )
" Why be a king , when you can be a god? " - Eminem-
#3
Tuyetminh2609
-
- Thành viên mới
-
- 7 Bài viết
Lính mới
Đã gửi 10-05-2020 - 18:37
Ta có: $p>3$$\Leftrightarrow p^{2}\equiv 1 (mod 3)$
Mà $a^{2}\equiv 0,1(mod 3)$$\Rightarrow p^{2}+a^{2}\equiv 1,2 (mod 3)$
=> $b^{2}\equiv 1,2 (mod 3)$ => $b^{2}\equiv 1( mod 3) vì b^{2}\not\equiv 2 (mod 3)$
=>$a^{2}\equiv 0 (mod 3)\Rightarrow a\vdots 3$
CMTT suy ra $a \vdots 4$ => a chia hết cho 12
+) $p^2+a^2=b^2\Leftrightarrow p^2=(b-a)(b+a)$
Mà p là số nguyên tố , a,b dương
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b-a=1 & & \\ a+b=p^2 & & \end{matrix}\right.$
=> 2a+1= p2 => 2(a+p+1)=p2+2p+1 =(p+1)2 là số chính phương ( DPCM )
Cảm ơn nhé!
- Death Doctor yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
