Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

bất đẳng thức


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Hanguyenngoc

Hanguyenngoc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Đã gửi 10-05-2020 - 20:45

$Cho a, b, c > 0 thỏa mãn \frac{a^2+b^2+c^2}{2020}\leq 2019a^2b^2c^2. Tìm GTLN của: P=\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}$

Các bạn giúp mình với nhé, mình cảm ơn nhiều!



#2 Syndycate

Syndycate

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ʟucκʏ ʟᴀɴᴅ
  • Sở thích:ɴᴏᴛʜɪɴɢ

Đã gửi 10-05-2020 - 21:29

$Cho a, b, c > 0 thỏa mãn \frac{a^2+b^2+c^2}{2020}\leq 2019a^2b^2c^2. Tìm GTLN của: P=\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}$

Các bạn giúp mình với nhé, mình cảm ơn nhiều!

$P\leq \sum \frac{1}{2.\sqrt{bc}}=\frac{\sum \sqrt{a}}{2\sqrt{abc}}\leq \frac{\sqrt{3(\sum a)}}{2\sqrt{abc}}\leq \frac{\sqrt{3.\sqrt{3.(a^2+b^2+c^2)}}}{2\sqrt{abc}}\leq \frac{\sqrt{3.\sqrt{3.2019.2020.a^2b^2c^2}}}{2\sqrt{abc}}=\frac{\sqrt{3.\sqrt{3.2019.2020}}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[4]{\frac{3}{2020.2019}}$


" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " - Roronoa Zoro.

 


#3 Hanguyenngoc

Hanguyenngoc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Đã gửi 10-05-2020 - 21:38

$P\leq \sum \frac{1}{2.\sqrt{bc}}=\frac{\sum \sqrt{a}}{2\sqrt{abc}}\leq \frac{\sqrt{3(\sum a)}}{2\sqrt{abc}}\leq \frac{\sqrt{3.\sqrt{3.(a^2+b^2+c^2)}}}{2\sqrt{abc}}\leq \frac{\sqrt{3.\sqrt{3.2019.2020.a^2b^2c^2}}}{2\sqrt{abc}}=\frac{\sqrt{3.\sqrt{3.2019.2020}}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[4]{\frac{3}{2020.2019}}$

Cảm ơn bạn nhiều



#4 Hanguyenngoc

Hanguyenngoc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Đã gửi 10-05-2020 - 21:42

$P\leq \sum \frac{1}{2.\sqrt{bc}}=\frac{\sum \sqrt{a}}{2\sqrt{abc}}\leq \frac{\sqrt{3(\sum a)}}{2\sqrt{abc}}\leq \frac{\sqrt{3.\sqrt{3.(a^2+b^2+c^2)}}}{2\sqrt{abc}}\leq \frac{\sqrt{3.\sqrt{3.2019.2020.a^2b^2c^2}}}{2\sqrt{abc}}=\frac{\sqrt{3.\sqrt{3.2019.2020}}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[4]{\frac{3}{2020.2019}}$

Cảm ơn bạn nhiều



#5 noobteam

noobteam

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-05-2020 - 12:03

nếu bạn gửi bài mới học lớp 9 thì chắc câu của mình sẽ dễ hiểu hơn

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:

$a^{2}+bc\geq 2a\sqrt{bc}\Rightarrow \frac{a}{a^{2}+bc}\leq \frac{a}{2a\sqrt{bc}}=\frac{1}{4}.2.\frac{1}{\sqrt{b}}.\frac{1}{\sqrt{c}}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Tương tự ta cũng có:$\frac{b}{b^{2}+ac}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})$,$\frac{c}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

$\Rightarrow P\leq \frac{ab+bc+ac}{2abc}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2abc}$

Mình giải được đến đây thôi phần sau mình đang suy nghĩ



#6 noobteam

noobteam

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-05-2020 - 12:05

Mong các cao thủ giải tiếp



#7 Syndycate

Syndycate

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ʟucκʏ ʟᴀɴᴅ
  • Sở thích:ɴᴏᴛʜɪɴɢ

Đã gửi 12-05-2020 - 12:06

Cách mình đơn thuần chỉ là áp dụng BĐT quen thuộc... cũng không khó hiểu lắm mà :v 

$(x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\rightarrow x+y+z\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 12-05-2020 - 12:06

" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " - Roronoa Zoro.

 


#8 noobteam

noobteam

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-05-2020 - 12:19

Cách mình đơn thuần chỉ là áp dụng BĐT quen thuộc... cũng không khó hiểu lắm mà :v 

$(x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\rightarrow x+y+z\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$

vậy bạn có thể giải tiếp cách của mình không?



#9 noobteam

noobteam

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-05-2020 - 12:23

mình vẫn chưa học tới cái dấu này $\sum $ nên lời giải của bạn mình ko hiểu lắm 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh