Chủ đề này có 1 trả lời

[Sprouts]

Rút gọn biểu thức sau: A=$\left [ \frac{2^{1}}{3} \right ]+\left [ \frac{2^{2}}{3} \right ]+...+\left [ \frac{2^{100}}{3} \right ]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sprouts: 21-10-2022 - 21:32

[nhungvienkimcuong]

Nhận xét: thực hiện phép chia $p$ cho $q$ ($p,q\in \mathbb{N}^*$) thì ta có $p=kq+r$ trong đó $k,r\in \mathbb{N}$ sao cho $0\le r\le q-1$, khi đó
\[\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor=\frac{p-r}{q}=k.\]
Dễ thấy $2^k\equiv i_k\pmod{3}$ trong đó $i_k$ bằng $1$ nếu $k$ chẵn và bằng $2$ nếu $k$ lẻ. Do đó áp dụng nhận xét vừa nêu ta có được
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{100}\left\lfloor\frac{2^k}{3}\right\rfloor&=\sum_{k=1}^{100}\frac{2^k-i_k}{3}=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{100}2^k-\frac{50\times 1+50\times 2}{3}=\frac{2^{101}-151}{3}.
\end{align*}