Rút gọn biểu thức sau: A=$\left [ \frac{2^{1}}{3} \right ]+\left [ \frac{2^{2}}{3} \right ]+...+\left [ \frac{2^{100}}{3} \right ]$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sprouts: 21-10-2022 - 21:32
Nhận xét: thực hiện phép chia $p$ cho $q$ ($p,q\in \mathbb{N}^*$) thì ta có $p=kq+r$ trong đó $k,r\in \mathbb{N}$ sao cho $0\le r\le q-1$, khi đó
\[\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor=\frac{p-r}{q}=k.\]
Dễ thấy $2^k\equiv i_k\pmod{3}$ trong đó $i_k$ bằng $1$ nếu $k$ chẵn và bằng $2$ nếu $k$ lẻ. Do đó áp dụng nhận xét vừa nêu ta có được
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{100}\left\lfloor\frac{2^k}{3}\right\rfloor&=\sum_{k=1}^{100}\frac{2^k-i_k}{3}=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{100}2^k-\frac{50\times 1+50\times 2}{3}=\frac{2^{101}-151}{3}.
\end{align*}
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh