Số chữ số $ 0 $ liên tiếp cuối cùng của $\boldsymbol {11^{1000}-1}$
#1
Đã gửi 23-10-2022 - 12:09
- perfectstrong, DOTOANNANG và tkd23112006 thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#2
Đã gửi 23-10-2022 - 20:56
Hãy tìm số chữ số 0 liên tiếp cuối cùng của $11^{1000}-1.$
Chắc ý bạn muốn hỏi là số $11^{1000}-1$ tận cùng bằng bao nhiêu chữ số $0$ ?
-----------------------------------------------------------------
Ta có :
$11^{1000}-1=(10+1)^{1000}-1=C_{1000}^010^{1000}+C_{1000}^110^{999}+...+C_{1000}^{999}10^1=\sum_{k=0}^{999}C_{1000}^k10^{1000-k}$
Tổng này có $1000$ số hạng. Dễ thấy rằng $996$ số hạng đầu (từ $k=0$ đến $k=995$) đều chia hết cho $10^5$
+ Với $k=996$ thì $C_{1000}^{996}10^4=\frac{1000.999.998.997}{4.3.2.1}.10^4=250.333.499.997.10^4$ cũng chia hết cho $10^5$
+ Với $k=997$ thì $C_{1000}^{997}10^3=\frac{1000.999.998}{1.2.3}.10^3=1000.333.499.10^3$ cũng chia hết cho $10^5$
+ Với $k=998$ thì $C_{1000}^{998}10^2=\frac{1000.999}{2.1}.10^2=49950000$ (chia $10^5$ dư $50000$)
+ Với $k=999$ thì $C_{1000}^{999}10^1=10000$ (chia $10^5$ dư $10000$)
Từ đó suy ra số đang xét chia $10^5$ dư $60000$, tức là nó tận cùng bằng $4$ chữ số $0$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-10-2022 - 21:16
- perfectstrong và Nobodyv3 thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 23-10-2022 - 21:41
Tương tự như lời giải của anh :
$\begin {align*}
11^{1000}-1&=\left ( 10+1 \right )^{1000}-1=\sum_{k=0}^{1000}\binom{1000}{k}10^k-1\\&=\sum_{k=1}^{1000}\binom{1000}{k}10^k\\
&=\binom{1000}{1}\cdot 10+\binom{1000}{2}\cdot 10^2+\binom{1000}{3}\cdot 10^3+\binom{1000}{4}\cdot 10^4+\sum_{k=5}^{1000}\binom{1000}{k}10^k\\
&=10000+999\cdot50000+333\cdot998\cdot500000+25\cdot333\cdot499\cdot997\cdot 100000+\sum_{k=5}^{1000}\binom{1000}{k}10^k\\
&=\overline{...0000}+\overline{...0000}+\overline{...00000}+\overline{...00000}+\overline{...00000}+...
\end{align*}$
Như vậy, số $11^{1000}-1$ có $4$ chữ số $0$ liên tiếp cuối cùng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 23-10-2022 - 21:50
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#4
Đã gửi 25-10-2022 - 14:21
$\left\{\begin{matrix} v_5(11^{1000}-1)=v_5(11-1)+v_5(1000)=4\\v_2(11^{1000}-1)=v_2(11-1)+v_2(11+1)+v_2(1000)-1=5\end{matrix}\right.$
nên $11^{1000}-1=5^42^5A$ với gcd(A,5)=gcd(A,2)=1. Suy ra $11^{1000}-1=10^4\times 2A$ nên tận cùng có 4 số 0
- perfectstrong và Nobodyv3 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh