Chủ đề này có 3 trả lời

[Nobodyv3]

Hãy tìm số chữ số 0 liên tiếp cuối cùng của $11^{1000}-1.$

[chanhquocnghiem]

Hãy tìm số chữ số 0 liên tiếp cuối cùng của $11^{1000}-1.$

Chắc ý bạn muốn hỏi là số $11^{1000}-1$ tận cùng bằng bao nhiêu chữ số $0$ ?

-----------------------------------------------------------------

Ta có :

$11^{1000}-1=(10+1)^{1000}-1=C_{1000}^010^{1000}+C_{1000}^110^{999}+...+C_{1000}^{999}10^1=\sum_{k=0}^{999}C_{1000}^k10^{1000-k}$

Tổng này có $1000$ số hạng. Dễ thấy rằng $996$ số hạng đầu (từ $k=0$ đến $k=995$) đều chia hết cho $10^5$

+ Với $k=996$ thì $C_{1000}^{996}10^4=\frac{1000.999.998.997}{4.3.2.1}.10^4=250.333.499.997.10^4$ cũng chia hết cho $10^5$

+ Với $k=997$ thì $C_{1000}^{997}10^3=\frac{1000.999.998}{1.2.3}.10^3=1000.333.499.10^3$ cũng chia hết cho $10^5$

+ Với $k=998$ thì $C_{1000}^{998}10^2=\frac{1000.999}{2.1}.10^2=49950000$ (chia $10^5$ dư $50000$)

+ Với $k=999$ thì $C_{1000}^{999}10^1=10000$ (chia $10^5$ dư $10000$)

Từ đó suy ra số đang xét chia $10^5$ dư $60000$, tức là nó tận cùng bằng $4$ chữ số $0$.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-10-2022 - 21:16

[Nobodyv3]

Đúng là không thể làm khó anh @chanhquocnghiem!
Tương tự như lời giải của anh :
$\begin {align*}
11^{1000}-1&=\left ( 10+1 \right )^{1000}-1=\sum_{k=0}^{1000}\binom{1000}{k}10^k-1\\&=\sum_{k=1}^{1000}\binom{1000}{k}10^k\\
&=\binom{1000}{1}\cdot 10+\binom{1000}{2}\cdot 10^2+\binom{1000}{3}\cdot 10^3+\binom{1000}{4}\cdot 10^4+\sum_{k=5}^{1000}\binom{1000}{k}10^k\\
&=10000+999\cdot50000+333\cdot998\cdot500000+25\cdot333\cdot499\cdot997\cdot 100000+\sum_{k=5}^{1000}\binom{1000}{k}10^k\\
&=\overline{...0000}+\overline{...0000}+\overline{...00000}+\overline{...00000}+\overline{...00000}+...
\end{align*}$
Như vậy, số $11^{1000}-1$ có $4$ chữ số $0$ liên tiếp cuối cùng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 23-10-2022 - 21:50

[chuyenndu]

$\left\{\begin{matrix} v_5(11^{1000}-1)=v_5(11-1)+v_5(1000)=4\\v_2(11^{1000}-1)=v_2(11-1)+v_2(11+1)+v_2(1000)-1=5\end{matrix}\right.$

 

nên $11^{1000}-1=5^42^5A$ với gcd(A,5)=gcd(A,2)=1. Suy ra $11^{1000}-1=10^4\times 2A$ nên tận cùng có 4 số 0