Đến nội dung

Hình ảnh

Có bao nhiêu số...

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Có bao nhiêu số tự nhiên có $n$ chữ số sao cho tổng các chữ số của nó bằng $m$ ($m\leqslant 9n$) ?


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#2
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Có bao nhiêu số tự nhiên có $n$ chữ số sao cho tổng các chữ số của nó bằng $m$ ($m\leqslant 9n$) ?

Ê răng quá! nhưng sẽ cố gắng...
(To be continued).
=========

Ta có :
Hàm sinh cho chữ số đầu : $\frac{x-x^{10}}{1-x}$
Hàm sinh cho các chữ số khác : $\frac{1-x^{10}}{1-x}$
Áp dụng qui tắc xoắn, ta có hàm sinh cho số các số thỏa yêu cầu :
$f(x)=(x-x^{10})(1-x^{10})^{n-1}(1-x)^{-n}$
Số các số thỏa yêu cầu là hệ số của số hạng chứa $x^m$ trong khai triển của $f(x)$ như sau :
$\begin{align*}[x^{m}]f(x)&=\left ( [x^{m-1}]-[x^{m-10}] \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{-n}{k}(-x)^k(1-x^{10})^{n-1}\\
&=\left ( [x^{m-1}]-[x^{m-10}] \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{n+k-1}{k}x^k(1-x^{10})^{n-1}\\
&=\sum_{k=0}^{m-1 }\binom{n+k-1}{k}[x^{m-1-k}](1-x^{10})^{n-1}-\sum_{k=0}^{m-10 }\binom{n+k-1}{k}[x^{m-10-k}](1-x^{10})^{n-1}\\
&=\sum_{k=0}^{m-1 }\binom{n+m-2-k}{m-1-k}[x^{k}](1-x^{10})^{n-1}-\sum_{k=0}^{m-10 }\binom{n+m-11-k}{m-10-k}[x^{k}](1-x^{10})^{n-1}\\
&=\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{m-1}{10} \right \rfloor }\binom{n+m-2-10k}{m-1-10k}[x^{10k}](1-x^{10})^{n-1}-\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{m-10}{10} \right \rfloor }\binom{n+m-11-10k}{m-10-10k}[x^{10k}](1-x^{10})^{n-1}\\
&=\boldsymbol {\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{m-1}{10} \right \rfloor }\binom{n+m-2-10k}{m-1-10k}\binom{n-1}{k}(-1)^k-\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{m}{10} \right \rfloor-1 }\binom{n+m-11-10k}{m-10-10k}\binom{n-1}{k}(-1)^k}
\end {align*}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 24-10-2022 - 12:46

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh