Chủ đề này có 1 trả lời

[duy030408]

Cho $x,y \in \mathbb{Q}$ thỏa mãn $21x^2 - 36xy + 44y^2 \le 27$.

Tìm max min của $A= x+2y$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-10-2022 - 22:14
Tiêu đề + LaTeX

[perfectstrong]

Vì $A = x + 2y$ nên $2y = A - x$. Ta viết lại biểu thức ban đầu:

\[\begin{array}{c}
21{x^2} - 18x\left( {A - x} \right) + 11{\left( {A - x} \right)^2} \le 27\\
 \Leftrightarrow 21{x^2} - 18Ax + 18{x^2} + 11{A^2} - 22Ax + 11{x^2} \le 27\\
 \Leftrightarrow 50{x^2} - 40Ax + 11{A^2} - 27 \le 0 \quad (1)
\end{array}\]

Coi biểu thức (1) là một tam thức bậc 2 theo $x$. (1) có hệ số cao nhất dương, nên (1) có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức $\Delta_x \ge 0$, tức là:

\[\begin{array}{c}
{\left( {40A} \right)^2} - 4 \times 50 \times \left( {11{A^2} - 27} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow {A^2} \le \frac{{5400}}{{600}} = 9\\
 \Leftrightarrow  - 3 \le A \le 3
\end{array}\]

Khi $A=3$ thì $x=y=\frac{6}{5}$. Khi $A=-3$ thì $x=y=\frac{-6}{5}$. Cả hai điểm rơi đều hữu tỷ nên thỏa đề.

Vậy $\min A=-3$ và $\max A=3$.