Chủ đề này có 2 trả lời

[Nobodyv3]

Giả sử ta có 2 bộ bài 52 lá giống hệt nhau. Trộn chúng lại thành 1 bộ bài 104 lá mà ta tạm gọi là "bộ bài trộn".
a/ Hỏi có bao nhiêu tay bài 6 lá từ " bộ bài trộn" này.
b/ Tổng quát, có bao nhiêu cách chọn $m$ vật từ $n$ vật khác nhau sao cho mỗi vật được chọn không quá 2 lần.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-10-2022 - 19:45

[chanhquocnghiem]

Giả sử ta có 2 bộ bài 52 lá giống hệt nhau. Trộn chúng lại thành 1 bộ bài 104 lá mà ta tạm gọi là "bộ bài trộn".
a/ Hỏi có bao nhiêu tay bài 6 lá từ " bộ bài trộn" này.
b/ Tổng quát, có bao nhiêu cách chọn $m$ vật từ $n$ vật khác nhau sao cho mỗi vật được chọn không quá 2 lần.

a) Ta gọi $2$ lá bài hoàn toàn giống nhau là một đôi. Xét các trường hợp :

  + Trong $6$ lá không có đôi nào : $C_{52}^6$ cách.

  + Trong $6$ lá có đúng $1$ đôi : $C_{52}^1C_{51}^4$ cách.

  + Trong $6$ lá có đúng $2$ đôi : $C_{52}^2C_{50}^2$ cách.

  + Trong $6$ lá có đúng $3$ đôi : $C_{52}^3C_{49}^0$ cách.

   Đáp án là $\sum_{k=0}^{3}C_{52}^kC_{52-k}^{6-2k}=34999770$ cách.

 

b) $\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{m}{2} \right \rfloor}C_n^kC_{n-k}^{m-2k}$ cách.
 

[Nobodyv3]

Em đi từ Tổng quát trước :
b/ Gọi $t_{n,m}$ là số cách chọn $m$ vật thỏa yêu cầu.
Hàm sinh cho cách chọn mỗi vật : $1+x+x^2$.
Thì theo qui tắc xoắn ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
f(x)&=\left (1+(x+x^2 )\right )^n\\
&=\sum_{i}\binom{n}{i}(x+x^2)^i\\
&=\sum_{i}\binom{n}{i}x^i\sum_{k}\binom{i}{k}x^k\\
&=\sum_{i}\sum_{k}\binom{n}{i} \binom{i}{k}x^{i+k}\\
&=\sum_{m}\left ( \sum_{k}\binom{n}{m-k} \binom{m-k}{k} \right )x^m
\end {align*}$
Vậy hệ số của $x^m$ trong $f(x)$ là :
$\boldsymbol {t_{n,m}=\sum_{k=0}^{\left \lfloor m/2 \right \rfloor}\binom{n}{m-k} \binom{m-k}{k}}$
a/ Với $n=52, m=6$ ta có :
$t_{52,6}= \binom{52}{6} \binom{6}{0}+\binom{52}{5}\binom{5}{1}+\binom{52}{4} \binom{4}{2}+\binom{52}{3} \binom{3}{3}=\boldsymbol {34999770}$