Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Cho n nguyên dương lớn hơn 1. CMR:

\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^n}}\\
1
\end{array}} \right)^2} + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^n}}\\
3
\end{array}} \right)^2} + ... + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^n}}\\
{{2^n} - 1}
\end{array}} \right)^2} \vdots {2^{2n + 1}}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-10-2022 - 20:38
Tiêu đề + LaTeX

[Hoang72]

Với mọi $i\in \{0; 1;...; 2^{n-1} - 1\}$ ta có: $\displaystyle\binom{2^n}{2i+1}= \frac{2^n(2^n-1)...(2^n - 2i)}{1.2...(2i+1)}$.

Do $i < 2^{n-1}$ nên $v_2(2^n - 2k) = v_2(2k),\forall k = \overline{1,i}$

$\begin{aligned} \Rightarrow v_2((2^n-1)(2^n-2)...(2^n-2i)) &= v_2(2^n - 2)+v_2(2^n-4)+...+v_2(2^n-2i)\\&=v_2(2) + v_2(4) + ... + v_2(2i) \\&= v_2(1.2...(2i+1))\end{aligned}$.

Suy ra $v_2\left(\binom{2^n}{2i+1}\right) = 2^n,\forall i = \overline{0, 2^{n-1} - 1}$.

Do đó có thể đặt $\left(\binom{2^n}{2i+1}\right)^2 = 2^{2n} . x_i$, với $2\nmid x_i$ thì $$\sum_{i=0}^{2^{n-1}-1}\binom{2^{n}}{2i+1} = 2^{2n}\sum_{i=0}^{2^{n-1}-1}x_i^2$$

Mà $\sum x_i^2\vdots 2$ nên ta có điều phải chứng minh.