Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $a$, $1<a<\frac{n}{k}+1$ sao cho $n|(a^2-a)$
#1
Đã gửi 26-10-2022 - 22:02
- nhungvienkimcuong và Hoang72 thích
#2
Đã gửi 04-12-2022 - 21:36
Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$, $k$ là số các ước nguyên tố phân biệt của $n$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $a$, $1<a<\frac{n}{k}+1$ sao cho $n|(a^2-a)$.
Bài này nhìn tưởng đơn giản nhưng để thỏa mãn điều kiện bất đẳng thức thì rắc rối ghê
Đặt phân tích ra thừa số nguyên tố của $n$ là $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$. Theo định lí thặng dư Trung Hoa, với mỗi $i\in \{1,2,\dots,k\}$ thì tồn tại số nguyên $x_i$ thỏa mãn
\[\left\{\begin{array}{l}x_i\equiv 1\pmod{p_i^{\alpha_i}}\\ x_i\equiv 0\pmod{\frac{n}{p_i^{\alpha_i}}}\end{array}\right..\]
Nhận xét (NX). Cho tổng $X=\sum_{i=1}^k\epsilon_ix_i$, trong đó $\epsilon_i\in \{0,1\}$ với mọi $i$.
- $n\mid X^2-X$.
- Nếu $X$ chia $n$ dư $0$ hoặc $1$ thì $\epsilon_1=\epsilon_2=\dots=\epsilon_k$.
Với mỗi $i\in \{1,2,\dots,k\}$, gọi $X_i$ là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn
\[X_i\equiv x_1+x_2+\dots+x_i\pmod{n}.\]
Theo NX2 thì $X_i\neq 0$ với mọi $i=\overline{1,k}$ và ngoài ra $X_k=1$. Bổ sung thêm $X_0=0$. Xét $k+1$ số $X_0,\ X_1,\ \dots,\ X_k$, theo định lí Dirichlet sẽ tồn tại $0\le c<d\le k$ sao cho
\[X_c,\ X_d\in\left [ \frac{jn}{k},\frac{(j+1)n}{k} \right ).\]
Nghĩa là $|X_d-X_c|<\frac{n}{k}$, theo NX2 ta có $X_d-X_c\notin \{0,1\}$. Cuối cùng ta chia ra hai trường hợp sau
$\bullet$ TH1: $X_d-X_c>1$ thì đặt
$$a_1=x_{c+1}+x_{c+2}+\dots+x_d=X_d-X_c\in\left(1,\frac{n}{k}\right).$$
Ngoài ra theo NX1 thì $n\mid a_1^2-a_1$ nên $a_1$ thỏa đề.
$\bullet$ TH2: $X_d-X_c<0$ thì đặt
$$a_2=(x_1+x_2+\dots+x_c)+(x_{d+1}+x_{d+2}+\dots+x_k)=X_k-(X_d-X_c)\in\left(1,1+\frac{n}{k}\right).$$
Ngoài ra theo NX1 thì $n\mid a_2^2-a_2$ nên $a_2$ thỏa đề.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 04-12-2022 - 21:44
- perfectstrong, Hoang72 và Math04 thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#3
Đã gửi 15-12-2022 - 11:18
Bài này nhìn tưởng đơn giản nhưng để thỏa mãn điều kiện bất đẳng thức thì rắc rối ghê
Đặt phân tích ra thừa số nguyên tố của $n$ là $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$. Theo định lí thặng dư Trung Hoa, với mỗi $i\in \{1,2,\dots,k\}$ thì tồn tại số nguyên $x_i$ thỏa mãn
\[\left\{\begin{array}{l}x_i\equiv 1\pmod{p_i^{\alpha_i}}\\ x_i\equiv 0\pmod{\frac{n}{p_i^{\alpha_i}}}\end{array}\right..\]
Nhận xét (NX). Cho tổng $X=\sum_{i=1}^k\epsilon_ix_i$, trong đó $\epsilon_i\in \{0,1\}$ với mọi $i$.
- $n\mid X^2-X$.
- Nếu $X$ chia $n$ dư $0$ hoặc $1$ thì $\epsilon_1=\epsilon_2=\dots=\epsilon_k$.
Với mỗi $i\in \{1,2,\dots,k\}$, gọi $X_i$ là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn
\[X_i\equiv x_1+x_2+\dots+x_i\pmod{n}.\]
Theo NX2 thì $X_i\neq 0$ với mọi $i=\overline{1,k}$ và ngoài ra $X_k=1$. Bổ sung thêm $X_0=0$. Xét $k+1$ số $X_0,\ X_1,\ \dots,\ X_k$, theo định lí Dirichlet sẽ tồn tại $0\le c<d\le k$ sao cho
\[X_c,\ X_d\in\left [ \frac{jn}{k},\frac{(j+1)n}{k} \right ).\]
Nghĩa là $|X_d-X_c|<\frac{n}{k}$, theo NX2 ta có $X_d-X_c\notin \{0,1\}$. Cuối cùng ta chia ra hai trường hợp sau
$\bullet$ TH1: $X_d-X_c>1$ thì đặt
$$a_1=x_{c+1}+x_{c+2}+\dots+x_d=X_d-X_c\in\left(1,\frac{n}{k}\right).$$
Ngoài ra theo NX1 thì $n\mid a_1^2-a_1$ nên $a_1$ thỏa đề.
$\bullet$ TH2: $X_d-X_c<0$ thì đặt
$$a_2=(x_1+x_2+\dots+x_c)+(x_{d+1}+x_{d+2}+\dots+x_k)=X_k-(X_d-X_c)\in\left(1,1+\frac{n}{k}\right).$$
Ngoài ra theo NX1 thì $n\mid a_2^2-a_2$ nên $a_2$ thỏa đề.
Bạn có thể chia sẻ quá trình nghĩ ra lời giải này không nhỉ? Cám ơn bạn nhé!
#4
Đã gửi 15-12-2022 - 20:58
Bạn có thể chia sẻ quá trình nghĩ ra lời giải này không nhỉ? Cám ơn bạn nhé!
Điều kiện chia hết đơn giản, điều kiện còn lại khá khó nên mình cần xem xét tất cả số $a$ thỏa mãn $n\mid a^2-a$. Có đúng $2^k$ số (xét theo modulo $n$) thỏa mãn $n\mid a^2-a$, chính là các số có dạng $\sum \epsilon_ix_i$ với $\epsilon_i\in \{0,1\}$.
Điều kiện còn lại thì mình nghĩ tới việc chỉ ra hai số cùng thuộc $\left[ \frac{jn}{k},\frac{(j+1)n}{k} \right )$ nên xét $k+1$ số $X_i$ như trên. Phần còn lại là làm sao cho hợp lí, dẫn đến việc cần chứng minh nhận xét.
- Math04 yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#5
Đã gửi 31-12-2022 - 14:02
Bài này nhìn tưởng đơn giản nhưng để thỏa mãn điều kiện bất đẳng thức thì rắc rối ghê
Đặt phân tích ra thừa số nguyên tố của $n$ là $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$. Theo định lí thặng dư Trung Hoa, với mỗi $i\in \{1,2,\dots,k\}$ thì tồn tại số nguyên $x_i$ thỏa mãn
\[\left\{\begin{array}{l}x_i\equiv 1\pmod{p_i^{\alpha_i}}\\ x_i\equiv 0\pmod{\frac{n}{p_i^{\alpha_i}}}\end{array}\right..\]
Nhận xét (NX). Cho tổng $X=\sum_{i=1}^k\epsilon_ix_i$, trong đó $\epsilon_i\in \{0,1\}$ với mọi $i$.
- $n\mid X^2-X$.
- Nếu $X$ chia $n$ dư $0$ hoặc $1$ thì $\epsilon_1=\epsilon_2=\dots=\epsilon_k$.
Với mỗi $i\in \{1,2,\dots,k\}$, gọi $X_i$ là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn
\[X_i\equiv x_1+x_2+\dots+x_i\pmod{n}.\]
Theo NX2 thì $X_i\neq 0$ với mọi $i=\overline{1,k}$ và ngoài ra $X_k=1$. Bổ sung thêm $X_0=0$. Xét $k+1$ số $X_0,\ X_1,\ \dots,\ X_k$, theo định lí Dirichlet sẽ tồn tại $0\le c<d\le k$ sao cho
\[X_c,\ X_d\in\left [ \frac{jn}{k},\frac{(j+1)n}{k} \right ).\]
Nghĩa là $|X_d-X_c|<\frac{n}{k}$, theo NX2 ta có $X_d-X_c\notin \{0,1\}$. Cuối cùng ta chia ra hai trường hợp sau
$\bullet$ TH1: $X_d-X_c>1$ thì đặt
$$a_1=x_{c+1}+x_{c+2}+\dots+x_d=X_d-X_c\in\left(1,\frac{n}{k}\right).$$
Ngoài ra theo NX1 thì $n\mid a_1^2-a_1$ nên $a_1$ thỏa đề.
$\bullet$ TH2: $X_d-X_c<0$ thì đặt
$$a_2=(x_1+x_2+\dots+x_c)+(x_{d+1}+x_{d+2}+\dots+x_k)=X_k-(X_d-X_c)\in\left(1,1+\frac{n}{k}\right).$$
Ngoài ra theo NX1 thì $n\mid a_2^2-a_2$ nên $a_2$ thỏa đề.
À bạn giải thích rõ chỗ "theo định lí Dirichlet sẽ tồn tại $0\le c<d\le k$ sao cho
\[X_c,\ X_d\in\left [ \frac{jn}{k},\frac{(j+1)n}{k} \right ).\]" giúp mình với. Bạn áp dụng nguyên lí định lí Dirichlet như thế nào nhỉ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math04: 31-12-2022 - 14:03
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh