Tìm tất cả số nguyên tố q, sao cho tồn tại số nguyên dương n để $n^2+22q$ là một lũy thừa với số mũ nguyên dương của 11
Tìm tất cả số nguyên tố q, sao cho tồn tại số nguyên dương n để $n^2+22q$ là một lũy thừa với số mũ nguyên dương của 11
#1
Đã gửi 30-10-2022 - 20:01
#2
Đã gửi 30-10-2022 - 23:40
Đặt $n^2 + 22q = 11^k (*) (k \in \mathbb{N})$
Dễ thấy $VT \ge 1 + 22 * 2 = 45 \Leftrightarrow 11k \ge 45 \Leftrightarrow k \ge 2$
Do $11k \vdots 11$ và $22q \vdots 11 \Rightarrow n^2 \vdots 11 \Leftrightarrow n \vdots 11$
Đặt $n = 11p (p \in \mathbb N)$
Thay $n = 11p$ vào biểu thức (*) ta được $121p^2 + 22q = 11^k \Leftrightarrow 11p^2 + 2q = 11^{k - 1}$
Do $k \ge 2 \Rightarrow k - 1 \ge 1$ hay $VP \vdots 11$
Lại có $11p^2 \vdots 11 \Rightarrow 2q \vdots 11$
Mà $(2, 11) = 1 \Rightarrow q \vdots 11$
Lại có $q$ là số nguyên tố $\Rightarrow q = 11$.
Vậy $q = 11$.
(Kí tự toán học bị lỗi nên đánh chữ, hơi khó đọc tí, thông cảm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-10-2022 - 23:46
LaTeX
- perfectstrong, Hoang72, ThienDuc1101 và 2 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh