Chứng minh rằng $X, Y, Z$ thẳng hàng
#1
Đã gửi 30-10-2022 - 22:39
#2
Đã gửi 02-11-2022 - 00:06
Kẻ $MG$ vuông góc với $BC$ tại $G$.
$MY$ cắt $DE$ tại $U$, $MZ$ cắt $DF$ tại $V$.
Ta có $M,U,V,G,D$ đồng viên và $D(AG,EF)=-1$
$\Rightarrow D(MG,UV) = -1$
$\Rightarrow MUGV$ là tứ giác điều hoà
$\Rightarrow MG$ là đối trung của $\Delta MUV$.
Xét phép vị tự tâm $M$ tỉ số $2$ ta suy ra $MG$ là đối trung của $\Delta MYZ$.
Nhận thấy $DM=DY=DZ$ nên $\Delta MYZ$ nội tiếp đường tròn tâm $D$.
Gọi giao hai tiếp tuyến tại $Y,Z$ của đường tròn này là $K$ thì suy ra $M,K,G$ thẳng hàng
$\Rightarrow D,G,Y,Z,K$ đồng viên $\Rightarrow \angle GYD =\angle GZD$.
Lại có $DY^2 = DZ^2= DM^2 = \overline{DG}.\overline{DX}$
$\Rightarrow \angle GYD=\angle GXY; \angle GZD = \angle GXZ$
$\Rightarrow \angle GXZ = \angle GXY$ (Do $\angle GYD = \angle GZD$)
$\Rightarrow X,Y,Z$ thẳng hàng.
- nhungvienkimcuong và Math04 thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh