Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $X, Y, Z$ thẳng hàng

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết
Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. $AM, BM, CM$ lần lượt cắt $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$. Lấy $X$ thuộc $BC$ sao cho $AM$ vuông $MX$ tại $M$. $Y,Z$ theo thứ tự là điểm đối xứng của $M$ qua $DE, DF$. Chứng minh rằng $X, Y, Z$ thẳng hàng.

#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Kẻ $MG$ vuông góc với $BC$ tại $G$.

$MY$ cắt $DE$ tại $U$, $MZ$ cắt $DF$ tại $V$.

Ta có $M,U,V,G,D$ đồng viên và $D(AG,EF)=-1$

$\Rightarrow D(MG,UV) = -1$

$\Rightarrow MUGV$ là tứ giác điều hoà

$\Rightarrow MG$ là đối trung của $\Delta MUV$.

Xét phép vị tự tâm $M$ tỉ số $2$ ta suy ra $MG$ là đối trung của $\Delta MYZ$.

Nhận thấy $DM=DY=DZ$ nên $\Delta MYZ$ nội tiếp đường tròn tâm $D$.

Gọi giao hai tiếp tuyến tại $Y,Z$ của đường tròn này là $K$ thì suy ra $M,K,G$ thẳng hàng

$\Rightarrow D,G,Y,Z,K$ đồng viên $\Rightarrow \angle GYD =\angle GZD$.

Lại có $DY^2 = DZ^2= DM^2 = \overline{DG}.\overline{DX}$

$\Rightarrow \angle GYD=\angle GXY; \angle GZD = \angle GXZ$

$\Rightarrow \angle GXZ = \angle GXY$ (Do $\angle GYD = \angle GZD$)

$\Rightarrow X,Y,Z$ thẳng hàng.

Hình gửi kèm

  • Untitled.png





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh