Chủ đề này có 5 trả lời

[Nobodyv3]

Chọn ngẫu nhiên 1 nghiệm nguyên không âm của phương trình $x+y+z=20$ . Hỏi xác suất để nghiệm này có $5\mid xyz.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 31-10-2022 - 16:50

[perfectstrong]

Chọn ngẫu nhiên 1 nghiệm nguyên không âm của phương trình $x+y+z=20$ . Hỏi xác suất để nghiệm này có $5\mid xyz.$

Bổ đề 1: (Bài toán chia kẹo Euler) Số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+\ldots+x_n=m$ là $C_{m+n-1}^{n-1}$.

Bổ đề 2: (Bài toán chia kẹo Euler phiên bản nguyên dương) Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_1+x_2+\ldots+x_n=m$ với $m \ge n$ là $C_{m-1}^{n-1}$.

TH1: Nếu trong $x,y,z$ có một số bằng $0$ thì thỏa đề. Ta đếm số nghiệm thỏa đề:

TH1.1: Có đúng hai số bằng $0$ : có $C_3^2$ cách chọn 2 số bằng $0$, và có đúng 1 cách chọn số còn lại.

TH1.2: Có đúng một số bằng $0$ : có $C_3^1$ cách chọn 1 số bằng $0$, và có đúng $C_{20-1}^{2-1}$ cách chọn 2 số còn lại chọn theo bổ đề 2.

TH2: Nếu không có số nào bằng $0$. Do đó không có số nào có thể bằng $20$. Để chia hết cho $5$, một trong 3 số phải thuộc tập $D_5 = \{5,10,15\}$.

TH2.1: Có một số bằng $15$ : có $C_3^1$ cách chọn 1 số bằng $15$. Hai số còn lại sẽ nhỏ hơn $5$ và có $C_{5-1}^{2-1}$ cách chọn.

TH2.1: Có một số bằng $10$ : có $C_3^1$ cách chọn 1 số bằng $10$. Hai số còn lại sẽ nhỏ hơn $10$ và có $C_{10-1}^{2-1}$ cách chọn.

TH2.2: Có một số bằng $5$ : có $C_3^1$ cách chọn 1 số bằng $5$. Có $C_{15-1}^{2-1}$ cách chọn hai số còn lại.

Chú ý rằng: bộ số $(10,5,5)$ (và hoán vị, tổng cộng là 3) sẽ được đếm trong cả TH2.1 và TH2.2 nên ta cần phải loại trừ ra.

Kết luận: Xác suất cần tìm là:

\[P = \frac{{C_3^2 + C_3^1C_{20 - 1}^{2 - 1} + C_3^1C_{5 - 1}^{2 - 1} + C_3^1C_{10 - 1}^{2 - 1} + C_3^1C_{15 - 1}^{2 - 1} - 3}}{{C_{20 + 3 - 1}^{3 - 1}}} = \frac{{138}}{{231}} \approx 0.5974\]

[chanhquocnghiem]

Bổ đề 1: (Bài toán chia kẹo Euler) Số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+\ldots+x_n=m$ là $C_{m+n-1}^{n-1}$.

Bổ đề 2: (Bài toán chia kẹo Euler phiên bản nguyên dương) Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_1+x_2+\ldots+x_n=m$ với $m \ge n$ là $C_{m-1}^{n-1}$.

TH1: Nếu trong $x,y,z$ có một số bằng $0$ thì thỏa đề. Ta đếm số nghiệm thỏa đề:

TH1.1: Có đúng hai số bằng $0$ : có $C_3^2$ cách chọn 2 số bằng $0$, và có đúng 1 cách chọn số còn lại.

TH1.2: Có đúng một số bằng $0$ : có $C_3^1$ cách chọn 1 số bằng $0$, và có đúng $C_{20-1}^{2-1}$ cách chọn 2 số còn lại chọn theo bổ đề 2.

TH2: Nếu không có số nào bằng $0$. Do đó không có số nào có thể bằng $20$. Để chia hết cho $5$, một trong 3 số phải thuộc tập $D_5 = \{5,10,15\}$.

TH2.1: Có một số bằng $15$ : có $C_3^1$ cách chọn 1 số bằng $15$. Hai số còn lại sẽ nhỏ hơn $5$ và có $C_{5-1}^{2-1}$ cách chọn.

TH2.1: Có một số bằng $10$ : có $C_3^1$ cách chọn 1 số bằng $10$. Hai số còn lại sẽ nhỏ hơn $10$ và có $C_{10-1}^{2-1}$ cách chọn.

TH2.2: Có một số bằng $5$ : có $C_3^1$ cách chọn 1 số bằng $5$. Có $C_{15-1}^{2-1}$ cách chọn hai số còn lại.

Chú ý rằng: bộ số $(10,5,5)$ (và hoán vị, tổng cộng là 3) sẽ được đếm trong cả TH2.1 và TH2.2 nên ta cần phải loại trừ ra.

Kết luận: Xác suất cần tìm là:

\[P = \frac{{C_3^2 + C_3^1C_{20 - 1}^{2 - 1} + C_3^1C_{5 - 1}^{2 - 1} + C_3^1C_{10 - 1}^{2 - 1} + C_3^1C_{15 - 1}^{2 - 1} - 3}}{{C_{20 + 3 - 1}^{3 - 1}}} = \frac{{138}}{{231}} \approx 0.5974\]

Các bộ số $(10,5,5)$, $(5,10,5)$ và $(5,5,10)$ đã được đếm trong TH2.1 nên trong TH2.2 cần phải loại ra. Vậy TH2.2 phải trình bày như sau :

$\mathbf{TH2.2\textbf{}}$ : Có đúng một ẩn bằng $5$ : Có $3$ cách chọn $1$ ẩn bằng $5$, có $14-2=12$ cách chọn $2$ ẩn còn lại

Vậy $P=\frac{3+3.19+3.4+3.9+3.12}{C_{22}^2}=\frac{45}{77}\approx 0,5844$
 

[Nobodyv3]

Em có lời giải sử dụng nguyên lý bù trừ. Coming soon...

[perfectstrong]

Các bộ số $(10,5,5)$, $(5,10,5)$ và $(5,5,10)$ đã được đếm trong TH2.1 nên trong TH2.2 cần phải loại ra. Vậy TH2.2 phải trình bày như sau :

$\mathbf{TH2.2\textbf{}}$ : Có đúng một ẩn bằng $5$ : Có $3$ cách chọn $1$ ẩn bằng $5$, có $14-2=12$ cách chọn $2$ ẩn còn lại

Vậy $P=\frac{3+3.19+3.4+3.9+3.12}{C_{22}^2}=\frac{45}{77}\approx 0,5844$
 

Em quên khúc $14-2$ mất, nên dôi ra vài trường hợp

Em đề nghị một bài tổng quát như sau:

Cho trước một số nguyên tố $p$ và 2 số nguyên không âm $n,q$. Đếm số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+\ldots+x_n=qp$ sao cho $p|x_1x_2\ldots x_n$.

[Nobodyv3]

Em đề nghị một bài tổng quát như sau:

Khó quá anh ơi!