Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số nguyên dương x, y để $A=x^2+y+1$ và $B=x^2+y+4$ đồng thời là các số chính phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Khai Hung

Khai Hung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Tìm các số nguyên dương x, y để $A=x^2+y+1$ và $B=x^2+y+4$ đồng thời là các số chính phương



#2
vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 933 Bài viết
Dễ thấy A > 1, B > 4 (*)
Đặt A = $a^2$, B = $b^2$, b, a $\in Z^+$
Có B - A = $b^2 - a^2$ = 3
$(b + a)(b - a) = 3$
$\Rightarrow b + a = 3, b - a = 1$
$\Rightarrow a = 1, b = 2$
$\Rightarrow A = 1, B = 4$, trái với điều kiện (*)
$\Rightarrow$ không tồn tại x, y nguyên dương thỏa mãn bài toán

#3
Khai Hung

Khai Hung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Giả sử $x\geq y$

Khi đó $x^2<x^2+y+1\leq x^2+x+1<x^2+2x+1$

$\Rightarrow x^2<A<(x+1)^2 \Rightarrow A$ không phải số chính phương (vô lý)

Vậy $x<y$

Khi đó $y^2< B< (y+2)^2\Rightarrow B=(y+1)^2$

$\Rightarrow (y+1)^{2}=y^2+x+4\Leftrightarrow x=2y-3$

Mà $x y\Rightarrow y<3\Rightarrow$y={1;2}

Nếu y=1 thì x<1 không phải số nguyên dương

Nếu y=2 thì x=1. Thử lại (x, y)=(1,2) thỏa mãn

Vậy (x;y)=(1,2)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khai Hung: 01-11-2022 - 22:23





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh