Đến nội dung

Hình ảnh

có bao nhiêu tam giác $ A_iA_jA_k$ chứa điểm $O.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/Có bao nhiêu số tự nhiên 4 chữ số $\overline{abcd}$ thỏa  $a\leq b\leq c\leq d.$
2/Gọi $A _{1},A _{2},A _{3},...,A _{21}$ là các đỉnh của đa giác đều 21 cạnh nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Hỏi có bao nhiêu tam giác $ A_iA_jA_k$ chứa điểm $O.$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

1/Có bao nhiêu số tự nhiên 4 chữ số $\overline{abcd}$ thỏa  $a\leq b\leq c\leq d.$

Xét các trường hợp :

+ $a,b,c,d$ khác nhau từng đôi một : Có $C_9^4=126$ số thỏa mãn.

+ Có đúng một cặp chữ số giống nhau : Có $C_9^1C_8^2=252$ số thỏa mãn.

+ Có $2$ cặp chữ số giống nhau ($a=b,c=d$) : Có $C_9^2=36$ số thỏa mãn.

+ Có đúng $3$ chữ số giống nhau : Có $C_9^1C_8^1=72$ số thỏa mãn.

+ Cả $4$ chữ số giống nhau : Có $9$ số thỏa mãn.

Tổng cộng có $495$ số thỏa mãn điều kiện đề bài.

 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

2/Gọi $A _{1},A _{2},A _{3},...,A _{21}$ là các đỉnh của đa giác đều 21 cạnh nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Hỏi có bao nhiêu tam giác $ A_iA_jA_k$ chứa điểm $O.$

Mỗi cạnh của đa giác chắn một cung nhỏ có số đo là $\alpha =\frac{2\pi}{21}$. Do đó mỗi đoạn $A_iA_j$ sẽ chắn một cung nhỏ có số đo là $t\alpha$ ($t\in \mathbb{N}^*,t\leqslant 10$)

Xét một tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài. Giả sử các cạnh của nó lần lượt chắn các cung nhỏ có số đo là $m\alpha ,n\alpha ,p\alpha$ ($m\geqslant n\geqslant p$).

Ta có $m+n+p=21$ ($m\leqslant 10$). Xét các trường hợp :

a) $m> n> p$ : Có $1+2+4=7$ nghiệm.

     - Chọn đỉnh $A_i$ : $21$ cách.

     - Với mỗi nghiệm $(m,n,p)$, từ $A_i$ đi theo đường tròn một cung $m\alpha$ ta có $A_j$ và từ $A_i$ đi theo đường tròn theo chiều ngược lại một cung $n\alpha$ ta có $A_k$ : $2$ cách

     $\Rightarrow$ TH a có $7.21.2=294$ tam giác.

b) $m=n> p$ : Có $3$ nghiệm.

     - Chọn đỉnh $A_i$ : $21$ cách.

     - Với mỗi nghiệm $(m,n,p)$, từ $A_i$ đi theo đường tròn một cung $m\alpha$ ta có $A_j$ và từ $A_i$ đi theo đường tròn theo chiều ngược lại một cung $n\alpha$ ta có $A_k$ : Chỉ có $1$ cách (vì $m=n$)

     $\Rightarrow$ TH b có $3.21.1=63$ tam giác.

c) $m> n=p$ : Có $1$ nghiệm.

     - Chọn đỉnh $A_i$ : $21$ cách.

     - Từ $A_i$ đi theo đường tròn một cung $m\alpha$ ta có $A_j$ và từ $A_i$ đi theo đường tròn theo chiều ngược lại một cung $n\alpha$ ta có $A_k$ : Có $2$ cách.

     $\Rightarrow$ TH c có $\frac{1.21.2}{2}=21$ tam giác (chia $2$ vì mỗi tam giác này sẽ bị đếm $1$ lần nữa khi ta chọn đỉnh $A_i$ khác trùng với đỉnh $A_j$ hiện tại)

d) $m=n=p=7$ : Có $\frac{1.21}{3}=7$ tam giác.

 

Số tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài là $294+63+21+7=385$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 06-11-2022 - 14:05

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/Xin trình bày 1 cách lập luận khác :
Ràng buộc của đề bài $1\leq a\leq b\leq c\leq d\leq 9$ có thể được minh họa như sau :
$$1\underbrace{\cdots}_{x_1}a\underbrace{\cdots}_{x_2}b\underbrace{\cdots}_{x_3}c\underbrace{\cdots}_{x_4}d\underbrace{\cdots}_{x_5}9$$
Như vậy, ta thấy yêu cầu của bài toán tương đương với việc tìm số nghiệm không âm của phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=9-1=8\\
x_i\geq 0,i=1,2,3,4,5
\end{matrix}\right.$
cụ thể là
$\binom{8+5-1}{5-1}=\binom{12}{4}=\boldsymbol{495}$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#5
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
2/ Lập luận khác :
Gọi ABC là một tam giác thỏa yêu cầu. Ta chọn đỉnh A bất kỳ, rồi chọn đỉnh  B trong 10 đỉnh  theo chiều ngược kim đồng hồ từ đỉnh A và tiếp tục chọn đỉnh C trong 10 đỉnh theo chiều kim đồng hồ từ đỉnh A. Có 21 cách chọn A và $\sum_{k=1}^{10}k=55$ cách chọn B và C. Nhưng trong mỗi tam giác ta đã tính 3 đỉnh là A, nên số tam giác thỏa yêu cầu là :
$\frac {55\cdot21}{3}= \boldsymbol {385}$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh