có bao nhiêu tam giác $ A_iA_jA_k$ chứa điểm $O.$
#1
Đã gửi 05-11-2022 - 23:49
2/Gọi $A _{1},A _{2},A _{3},...,A _{21}$ là các đỉnh của đa giác đều 21 cạnh nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Hỏi có bao nhiêu tam giác $ A_iA_jA_k$ chứa điểm $O.$
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#2
Đã gửi 06-11-2022 - 12:43
1/Có bao nhiêu số tự nhiên 4 chữ số $\overline{abcd}$ thỏa $a\leq b\leq c\leq d.$
Xét các trường hợp :
+ $a,b,c,d$ khác nhau từng đôi một : Có $C_9^4=126$ số thỏa mãn.
+ Có đúng một cặp chữ số giống nhau : Có $C_9^1C_8^2=252$ số thỏa mãn.
+ Có $2$ cặp chữ số giống nhau ($a=b,c=d$) : Có $C_9^2=36$ số thỏa mãn.
+ Có đúng $3$ chữ số giống nhau : Có $C_9^1C_8^1=72$ số thỏa mãn.
+ Cả $4$ chữ số giống nhau : Có $9$ số thỏa mãn.
Tổng cộng có $495$ số thỏa mãn điều kiện đề bài.
- Nobodyv3 yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 06-11-2022 - 14:01
2/Gọi $A _{1},A _{2},A _{3},...,A _{21}$ là các đỉnh của đa giác đều 21 cạnh nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Hỏi có bao nhiêu tam giác $ A_iA_jA_k$ chứa điểm $O.$
Mỗi cạnh của đa giác chắn một cung nhỏ có số đo là $\alpha =\frac{2\pi}{21}$. Do đó mỗi đoạn $A_iA_j$ sẽ chắn một cung nhỏ có số đo là $t\alpha$ ($t\in \mathbb{N}^*,t\leqslant 10$)
Xét một tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài. Giả sử các cạnh của nó lần lượt chắn các cung nhỏ có số đo là $m\alpha ,n\alpha ,p\alpha$ ($m\geqslant n\geqslant p$).
Ta có $m+n+p=21$ ($m\leqslant 10$). Xét các trường hợp :
a) $m> n> p$ : Có $1+2+4=7$ nghiệm.
- Chọn đỉnh $A_i$ : $21$ cách.
- Với mỗi nghiệm $(m,n,p)$, từ $A_i$ đi theo đường tròn một cung $m\alpha$ ta có $A_j$ và từ $A_i$ đi theo đường tròn theo chiều ngược lại một cung $n\alpha$ ta có $A_k$ : $2$ cách
$\Rightarrow$ TH a có $7.21.2=294$ tam giác.
b) $m=n> p$ : Có $3$ nghiệm.
- Chọn đỉnh $A_i$ : $21$ cách.
- Với mỗi nghiệm $(m,n,p)$, từ $A_i$ đi theo đường tròn một cung $m\alpha$ ta có $A_j$ và từ $A_i$ đi theo đường tròn theo chiều ngược lại một cung $n\alpha$ ta có $A_k$ : Chỉ có $1$ cách (vì $m=n$)
$\Rightarrow$ TH b có $3.21.1=63$ tam giác.
c) $m> n=p$ : Có $1$ nghiệm.
- Chọn đỉnh $A_i$ : $21$ cách.
- Từ $A_i$ đi theo đường tròn một cung $m\alpha$ ta có $A_j$ và từ $A_i$ đi theo đường tròn theo chiều ngược lại một cung $n\alpha$ ta có $A_k$ : Có $2$ cách.
$\Rightarrow$ TH c có $\frac{1.21.2}{2}=21$ tam giác (chia $2$ vì mỗi tam giác này sẽ bị đếm $1$ lần nữa khi ta chọn đỉnh $A_i$ khác trùng với đỉnh $A_j$ hiện tại)
d) $m=n=p=7$ : Có $\frac{1.21}{3}=7$ tam giác.
Số tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài là $294+63+21+7=385$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 06-11-2022 - 14:05
- perfectstrong và Nobodyv3 thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#4
Đã gửi 06-11-2022 - 14:39
Ràng buộc của đề bài $1\leq a\leq b\leq c\leq d\leq 9$ có thể được minh họa như sau :
$$1\underbrace{\cdots}_{x_1}a\underbrace{\cdots}_{x_2}b\underbrace{\cdots}_{x_3}c\underbrace{\cdots}_{x_4}d\underbrace{\cdots}_{x_5}9$$
Như vậy, ta thấy yêu cầu của bài toán tương đương với việc tìm số nghiệm không âm của phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=9-1=8\\
x_i\geq 0,i=1,2,3,4,5
\end{matrix}\right.$
cụ thể là
$\binom{8+5-1}{5-1}=\binom{12}{4}=\boldsymbol{495}$
- chanhquocnghiem yêu thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#5
Đã gửi 06-11-2022 - 15:49
Gọi ABC là một tam giác thỏa yêu cầu. Ta chọn đỉnh A bất kỳ, rồi chọn đỉnh B trong 10 đỉnh theo chiều ngược kim đồng hồ từ đỉnh A và tiếp tục chọn đỉnh C trong 10 đỉnh theo chiều kim đồng hồ từ đỉnh A. Có 21 cách chọn A và $\sum_{k=1}^{10}k=55$ cách chọn B và C. Nhưng trong mỗi tam giác ta đã tính 3 đỉnh là A, nên số tam giác thỏa yêu cầu là :
$\frac {55\cdot21}{3}= \boldsymbol {385}$
- perfectstrong và chanhquocnghiem thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh