Chứng minh rằng $(PQJ)$ tiếp xúc với $(O)$
Lời giải dat09, 13-11-2022 - 20:23
a) Gọi $E,F$ lần lượt là điểm chính giữa các cung $BAC,BC$ của $(O)$. Dễ thấy chùm $A(EF,BC)=-1=A(EF,YX)$. Theo hệ thức Newton thì $QX^2=QY^2=\overline{QE}.\overline{QF}=P_{Q/(O)}$. Suy ra $(XY)$ trực giao với $(O)$.
b) Gọi $AQ$ cắt lại $(O)$ tại $Z$, $AD$ là đường kính của $(O)$, $M$ là trung điểm của $BC$, $H$ nằm trên $(O)$ sao cho $AH \perp BC$. Ta có chùm $A(XY,HQ)=-1=(CB,HZ)$ nên tứ giác $ZBHC$ là tứ giác điều hòa hay $ZH$ là đường đối trung của $\Delta ZBC$. Do đó $ZD$ là trung tuyến của $\Delta ZBC$ vì $D,H$ đẳng giác ứng với $\angle BZC$ hay $Z,M,D$ thẳng hàng. Lại có $\angle AZH = 180^0 - \angle ADH = 180^0 - \angle QJP$ nên $Q,P,J,Z$ đồng viên. Từ đó $\angle QZJ = \angle QPJ = 90^0$. Suy ra $Z,M,D,J$ thẳng hàng. Ta thấy phép vị tự tâm $Z$ biến $\Delta AZD$ thành $\Delta QZJ$ nên nó biến $(O)$ thành $(PQJ)$. Vậy $(PQJ)$ tiếp xúc với $(O)$.
Đi đến bài viết »
#1
Đã gửi 06-11-2022 - 20:46
#2
Đã gửi 13-11-2022 - 20:23
a) Gọi $E,F$ lần lượt là điểm chính giữa các cung $BAC,BC$ của $(O)$. Dễ thấy chùm $A(EF,BC)=-1=A(EF,YX)$. Theo hệ thức Newton thì $QX^2=QY^2=\overline{QE}.\overline{QF}=P_{Q/(O)}$. Suy ra $(XY)$ trực giao với $(O)$.
b) Gọi $AQ$ cắt lại $(O)$ tại $Z$, $AD$ là đường kính của $(O)$, $M$ là trung điểm của $BC$, $H$ nằm trên $(O)$ sao cho $AH \perp BC$. Ta có chùm $A(XY,HQ)=-1=(CB,HZ)$ nên tứ giác $ZBHC$ là tứ giác điều hòa hay $ZH$ là đường đối trung của $\Delta ZBC$. Do đó $ZD$ là trung tuyến của $\Delta ZBC$ vì $D,H$ đẳng giác ứng với $\angle BZC$ hay $Z,M,D$ thẳng hàng. Lại có $\angle AZH = 180^0 - \angle ADH = 180^0 - \angle QJP$ nên $Q,P,J,Z$ đồng viên. Từ đó $\angle QZJ = \angle QPJ = 90^0$. Suy ra $Z,M,D,J$ thẳng hàng. Ta thấy phép vị tự tâm $Z$ biến $\Delta AZD$ thành $\Delta QZJ$ nên nó biến $(O)$ thành $(PQJ)$. Vậy $(PQJ)$ tiếp xúc với $(O)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 03-05-2023 - 22:15
- Math04 yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh