Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $\sum \frac{x}{\sqrt{4x + 5y}} \geqq 1$ với $x,y,z>0; xy+yz+zx\geqq 3$

bất đẳng thức holder c-s sos bđt hoán vị sos dao lam stsos

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 22-05-2020 - 09:48

Cho $x,y,z$ là các số thực dương và $xy+yz+zx \geqq 3.$ Chứng minh rằng$:$ $$\frac{x}{\sqrt{4x + 5y}} + \frac{y}{\sqrt{4y + 5z}} + \frac{z}{\sqrt{4z + 5x}} \geqq 1$$



#2 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 22-05-2020 - 09:50

Cho $x,y,z$ là các số thực dương và $xy+yz+zx \geqq 3.$ Chứng minh rằng$:$ $$\frac{x}{\sqrt{4x + 5y}} + \frac{y}{\sqrt{4y + 5z}} + \frac{z}{\sqrt{4z + 5x}} \geqq 1$$

Có một cách dùng Cauchy-Schwarz rất tầm thường$,$ mời các bạn ;)

Áp dụng bất đẳng thức Hölder$:$
$$\text{VT} = \sqrt{\frac{(\sum\limits_{cyc} \frac{x}{\sqrt{4x+5y}})^2 \left\{\sum\limits_{cyc} x(4x+5y)\right\} }{4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)}}\geqq \sqrt{\frac{(x+y+z)^3}{4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)}}$$
Cần chứng minh$:$ $$(x+y+z)^3 \geqq 4(x^2+y^2+z^2)+ 5(xy+yz+zx)$$
Nhưng mà$:$ $$\text{LHS}-\text{RHS}=(x+y+z-3) \Big[(x+y+z)^2-(x+y+z)-3\Big] +3(xy+yz+zx-3) \geqq 0$$
Xong!


#3 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 22-05-2020 - 10:37

Với dạng$:$ $$\frac{X}{\sqrt{A}}+\frac{Y}{\sqrt{B}}+\frac{Z}{\sqrt{C}} \geqq k$$

Sử dụng $\lceil$  HOLDER!inequality $\rfloor$ :$$ \text{VT} =\sqrt{\frac{(\frac{X}{\sqrt{A}}+\frac{Y}{\sqrt{B}}+\frac{Z}{\sqrt{C}} )^2 (AXW_1^3 +BYW_2^3 +CZW_3^3)}{AXW_1^3 +BYW_2^3 +CZW_3^3}} \geqq \sqrt{\frac{(W_1 X +W_2 Y+W_3 Z)^3}{AXW_1^3 +BYW_2^3 +CZW_3^3}}$$

Ta đi chứng minh$:$ $$(W_1 X +W_2 Y+W_3 Z)^3 \geqq k^2 (AXW_1^3 +BYW_2^3 +CZW_3^3) \,\, -------(1)$$

Như vậy$,$ vấn đề của ta là chọn $W_1,\, W_2, \,W_3$ là các đa thức nguyên sao cho bất đẳng thức $(1)$ đúng!

 

Nhưng vấn đề là chọn như thế nào$?$ Việc chọn $W_1,\, W_2, \,W_3$ không phải lúc nào cũng dễ dàng như bài trên$.$

 

Ông Liu Qian Bao có thuật toán agl2012(1) giúp ta tìm $W_1,\, W_2, \,W_3$ một cách nhanh chóng$,$ mình chưa biết gì về nó$,$ có ai có ý tưởng nào không$?$

 

(1) : Chương trình agl2012https://artofproblem...nity/c6h1827454



#4 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 22-05-2020 - 10:44

Với dạng$:$ $$\frac{X}{\sqrt{A}}+\frac{Y}{\sqrt{B}}+\frac{Z}{\sqrt{C}} \geqq k$$

Sử dụng $\lceil$  HOLDER!inequality $\rfloor$ :$$ \text{VT} =\sqrt{\frac{(\frac{X}{\sqrt{A}}+\frac{Y}{\sqrt{B}}+\frac{Z}{\sqrt{C}} )^2 (AXW_1^3 +BYW_2^3 +CZW_3^3)}{AXW_1^3 +BYW_2^3 +CZW_3^3}} \geqq \sqrt{\frac{(W_1 X +W_2 Y+W_3 Z)^3}{AXW_1^3 +BYW_2^3 +CZW_3^3}}$$

Ta đi chứng minh$:$ $$(W_1 X +W_2 Y+W_3 Z)^3 \geqq k^2 (AXW_1^3 +BYW_2^3 +CZW_3^3) \,\, -------(1)$$

Như vậy$,$ vấn đề của ta là chọn $W_1,\, W_2, \,W_3$ là các đa thức nguyên sao cho bất đẳng thức $(1)$ đúng!

 

Nhưng vấn đề là chọn như thế nào$?$ Việc chọn $W_1,\, W_2, \,W_3$ không phải lúc nào cũng dễ dàng như bài trên$.$

 

Ông Liu Qian Bao có thuật toán agl2012(1) giúp ta tìm $W_1,\, W_2, \,W_3$ một cách nhanh chóng$,$ mình chưa biết gì về nó$,$ có ai có ý tưởng nào không$?$

 

(1) : Chương trình agl2012https://artofproblem...nity/c6h1827454

Trong trường hợp ngược lại$:$ $$\frac{X}{\sqrt{A}}+\frac{Y}{\sqrt{B}}+\frac{Z}{\sqrt{C}} \leqq k$$

 

Ta dùng $\lceil$  Cauchy-Schwarz!inequality $\rfloor:$ $$(W_1 +W_2 +W_3) (\frac{X^2}{W_1 A}+\frac{Y^2}{W_2 B} +\frac{Z^2}{W_3 C}) \geqq (\frac{X}{\sqrt{A}}+\frac{Y}{\sqrt{B}}+\frac{Z}{\sqrt{C}})^2$$

 

Cần chứng minh$:$ $$k^2 \geqq (W_1 +W_2 +W_3) (\frac{X^2}{W_1 A}+\frac{Y^2}{W_2 B} +\frac{Z^2}{W_3 C})$$

 

Cách chọn $W_1,\, W_2,\,W_3$$?$







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh