Chủ đề này có 1 trả lời

[Nobodyv3]

Có 5 táo, 5 xoài, 5 cam và 5 đứa trẻ. Hỏi có bao nhiêu cách chia cho các bé sao cho :
a/ mỗi bé được 3 trái.
b/ không bé nào được đủ 3 loại trái cây.
c/ mỗi bé được ít nhất 1 trái.

[Nobodyv3]

Bằng cách dùng hàm sinh 3 biến, mình xin đề nghị một lời giải như sau :
a/ Gọi $x,y,z$ lần lượt là biến đại diện cho  táo, xoài, cam.
Hàm sinh cho số cách phát cho mỗi bé:
$z^0(x^3+x^2y+xy^2+y^3)+z^1(x^2+xy++y^2)+z^2(x^1+y^1)+z^3(x^0+y^0) $
Sau vài phép biến đổi, sắp xếp và rút gọn ta được hàm sinh cho số cách phát cho các bé :
$f(x,y,z)=\left(\frac {x^5-z^5}{(x-y)(x-z)} -\frac{y^5-z^5}{(x-y)(y-z)} \right )^5$
Suy ra số cách phát thỏa yêu cầu (là hệ số của số hạng chứa $x^5y^5z^5$ trong khai triển của hàm $f(x,y,z)$):
$[x^5y^5z^5]f(x,y,z)=\boldsymbol {3391}$
b/ Hàm sinh cho số cách phát cho mỗi bé:
$\frac {1}{1-x}\frac {1}{1-y}+\frac {1}{1-x}\frac {1}{1-z}+\frac {1}{1-y}\frac {1}{1-z}-\frac {1}{1-x}-\frac {1}{1-y}-\frac {1}{1-z}$
Sau vài phép biến đổi, sắp xếp và rút gọn ta được hàm sinh cho số cách phát cho các bé :
$g(x,y,z)=\left(\frac {x+y+z-xy-xz-yz}{(1-x)(1-y)(1-z)}  \right) ^5$
Suy ra số cách phát thỏa yêu cầu :
$[x^5y^5z^5]g(x,y,z)=\boldsymbol {459000}$
c/ Hàm sinh cho số cách phát cho các bé:
$h(x,y,z)=\left (\frac {1}{(1-x)(1-y)(1-z)}-1\right) ^5$
Suy ra số cách phát thỏa yêu cầu :
$[x^5y^5z^5]h(x,y,z)=\boldsymbol {1212751}$