Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $\sum \frac{a^{2}}{b}+\sum a\geq 2\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

bđt cuctri thcs

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 23-05-2020 - 21:18

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$


:ukliam2:


#2 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 145 Bài viết

Đã gửi 23-05-2020 - 21:24

$LHS-RHS=\sum \frac{(a-b)^2(a+c)}{b(a+b+c)}+\frac{2(\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-a-b-c)}{2(a+b+c)(a+b+c+\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)})} \geqq 0$

#3 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 536 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 29-06-2020 - 16:57

Cách 2.

$ \sum \frac{a^2}{b} + 2 \sum a = \sum( \frac{a^2}{b} + \frac{(a+c)^2}{a+c} ) \geq \sum \frac{(2a+c)^2}{a+b+c} $

$ \sum \frac{(2a+c)^2}{a+b+c}  = \frac{3(a^2+b^2+c^2)+2(a+b+c)^2}{a+b+c} = \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} + 2 \sum a $

$ \Rightarrow  \sum  \frac{a^2}{b} \geq  \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} $ 

$ VT \geq  \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}  + (a+b+c) \geq 2\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} = VP $. (ĐPCM)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 29-06-2020 - 16:59

๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#4 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 29-06-2020 - 17:39

Cách anh Sin99 quá ạ. Mình lại tìm một cách mới:

Ta có:

$VT^{2}=\sum \frac{a^{4}}{b^{2}}+\sum a^{2}+2(\sum \frac{a^{3}}{b}+\sum a^{2}+\sum \frac{a^{2}c}{b}+\sum \frac{a^{2}b}{c}+\sum ab)$

$VP^{2}=12(\sum a^{2})$

Đến đây dùng BĐT Cauchy cho VT ta dễ có đpcm.


:ukliam2:






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh