Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

CMR: $\sum \frac{a^{2}}{b}+\sum a\geq 2\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
#2
Đã gửi 23-05-2020 - 21:24
- spirit1234 yêu thích
#3
Đã gửi 29-06-2020 - 16:57
Cách 2.
$ \sum \frac{a^2}{b} + 2 \sum a = \sum( \frac{a^2}{b} + \frac{(a+c)^2}{a+c} ) \geq \sum \frac{(2a+c)^2}{a+b+c} $
$ \sum \frac{(2a+c)^2}{a+b+c} = \frac{3(a^2+b^2+c^2)+2(a+b+c)^2}{a+b+c} = \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} + 2 \sum a $
$ \Rightarrow \sum \frac{a^2}{b} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} $
$ VT \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} + (a+b+c) \geq 2\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} = VP $. (ĐPCM)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 29-06-2020 - 16:59
- spirit1234, Tan Thuy Hoang và foreveryeuanh thích
๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐
#4
Đã gửi 29-06-2020 - 17:39
Cách anh Sin99 quá ạ. Mình lại tìm một cách mới:
Ta có:
$VT^{2}=\sum \frac{a^{4}}{b^{2}}+\sum a^{2}+2(\sum \frac{a^{3}}{b}+\sum a^{2}+\sum \frac{a^{2}c}{b}+\sum \frac{a^{2}b}{c}+\sum ab)$
$VP^{2}=12(\sum a^{2})$
Đến đây dùng BĐT Cauchy cho VT ta dễ có đpcm.
- spirit1234 yêu thích
#5
Đã gửi 21-07-2020 - 10:05
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
Đây là cách của mình$:$
Ta có$:$ $$\frac{a^2}{b} +\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} +a+b+c \geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2 b+b^2c+c^2a} +a+b+c$$
$$\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\frac{1}{3} (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c) \geqslant 2\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$$
- Sin99, Tan Thuy Hoang và DepressedGenius thích
Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/
Github: https://github.com/tthnew
Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages
Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/
Tài liệu pqr: https://diendantoanh...hương-pháp-pqr/
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt, cuctri, thcs
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Trục đẳng phươngBắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 15-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $x,y,z>0;x^3+y^3+z^3=3$. Tìm Min, Max $T=\sum\frac{xy}{z}$.Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 08-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $x,y,z\geq 0;x^2+y^2+z^2=3$. Tìm Max $P=6(y+z-x)+27xyz$Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 04-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $\sqrt{7x^2-22x+28}+\sqrt{7x^2+8x+13}+\sqrt{31x^2+14x+4}\geq 3\sqrt{3}(x+2)$.Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 30-12-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh $\sum\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\geq 1$Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 07-12-2020 ![]() |
|
![]() |
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh