Chủ đề này có 4 trả lời

[Tan Thuy Hoang]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

[Daniel18]

$LHS-RHS=\sum \frac{(a-b)^2(a+c)}{b(a+b+c)}+\frac{2(\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-a-b-c)}{2(a+b+c)(a+b+c+\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)})} \geqq 0$

[Sin99]

Cách 2.

$ \sum \frac{a^2}{b} + 2 \sum a = \sum( \frac{a^2}{b} + \frac{(a+c)^2}{a+c} ) \geq \sum \frac{(2a+c)^2}{a+b+c} $

$ \sum \frac{(2a+c)^2}{a+b+c}  = \frac{3(a^2+b^2+c^2)+2(a+b+c)^2}{a+b+c} = \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} + 2 \sum a $

$ \Rightarrow  \sum  \frac{a^2}{b} \geq  \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} $ 

$ VT \geq  \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}  + (a+b+c) \geq 2\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} = VP $. (ĐPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 29-06-2020 - 16:59

[Tan Thuy Hoang]

Cách anh Sin99 quá ạ. Mình lại tìm một cách mới:

Ta có:

$VT^{2}=\sum \frac{a^{4}}{b^{2}}+\sum a^{2}+2(\sum \frac{a^{3}}{b}+\sum a^{2}+\sum \frac{a^{2}c}{b}+\sum \frac{a^{2}b}{c}+\sum ab)$

$VP^{2}=12(\sum a^{2})$

Đến đây dùng BĐT Cauchy cho VT ta dễ có đpcm.

[tthnew]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

Đây là cách của mình$:$

Ta có$:$ $$\frac{a^2}{b} +\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} +a+b+c \geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2 b+b^2c+c^2a} +a+b+c$$

$$\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\frac{1}{3} (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c) \geqslant 2\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$$