Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$ thì luôn tồn tại số nguyên dương $n$ có ít nhất $m$ ước nguyên tố (không nhất thiết phân biệt) sao cho
\[n^3\mid 2^{202n^2}+3^{202n^2}.\]
$n^3\mid 2^{202n^2}+3^{202n^2}$
#1
Đã gửi 10-11-2022 - 16:21
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#2
Đã gửi 13-11-2022 - 19:51
Ta chứng minh quy nạp theo $m$ rằng luôn tồn tại một số square - free $n$ có $m$ ước nguyên tố phân biệt thoả mãn $n^3\mid 2^{202n^2} + 3^{202n^2}$
Khi $m=1$, ta chọn $n=p_1$ là một ước nguyên tố của $2^{202} + 3^{202}$ thì $p_1\neq 2$ và theo bổ đề LTE, ta có: $$v_{p_1}\left(2^{202p_1^2} + 3^{202p_1^2}\right) = v_{p_1}\left(2^{202} + 3^{202}\right) + v_{p_1}\left(p_1^2\right)\geq 3$$
Tức $p_1^3 \mid 2^{202p_1^2} + 3^{202p_1^2}$.
Giả sử với $m\in\mathbb N^*$ ta chọn được các số nguyên tố $p_1,p_2,...,p_m$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện: $$n^3\mid 2^{202n^2} + 3^{202n^2}\text{, với } n = p_1p_2...p_m$$
và $p_1,p_2,...,p_m$ là ước của $2^{202\left(\frac{n}{p_m}\right)^2}+3^{202\left(\frac{n}{p_m}\right)^2}$.
Theo định lý Zsigmondy, tồn tại số nguyên tố $p_{m+1}$ là ước của $2^{202n^2} + 3^{202n^2}$ mà không là ước của $2^{202\left(\frac{n}{p_m}\right)^2}+3^{202\left(\frac{n}{p_m}\right)^2}$.
Thế thì $p_{m+1} \neq p_i,\forall i = \overline{1,m}$.
Đặt $k = np_{m+1}$, ta có $v_{p_{m+1}}\left(2^{202k^2} + 3^{202k^2}\right) = v_{p_{m+1}}\left(2^{202n^2} + 3^{202n^2}\right) + v_{p_{m+1}}\left(p_{m+1})^2\right) \geq 3$
$\Rightarrow p_{m+1}^3 \mid 2^{202k^2} + 3^{202k^2}$.
Đồng thời $n^3 \mid 2^{202n^2} + 3^{202n^2}\Rightarrow n^3\mid 2^{202k^2} + 3^{202k^2}$
$\Rightarrow k^3\mid 2^{202k^2} + 3^{202k^2}$.
Hơn nữa $p_1,p_2,...,p_{m+1}$ là ước của $2^{202\left(\frac{k}{p_{m+1}}\right)^2} + 3^{202\left(\frac{k}{p_{m+1}}\right)^2}$.
Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 13-11-2022 - 19:58
- perfectstrong và nhungvienkimcuong thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh