Chủ đề này có 1 trả lời

[nhungvienkimcuong]

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$ thì luôn tồn tại số nguyên dương $n$ có ít nhất $m$ ước nguyên tố (không nhất thiết phân biệt) sao cho
\[n^3\mid 2^{202n^2}+3^{202n^2}.\]

[Hoang72]

Ta chứng minh quy nạp theo $m$ rằng luôn tồn tại một số square - free $n$ có $m$ ước nguyên tố phân biệt thoả mãn $n^3\mid 2^{202n^2} + 3^{202n^2}$

Khi $m=1$, ta chọn $n=p_1$ là một ước nguyên tố của $2^{202} + 3^{202}$ thì $p_1\neq 2$ và theo bổ đề LTE, ta có: $$v_{p_1}\left(2^{202p_1^2} + 3^{202p_1^2}\right) = v_{p_1}\left(2^{202} + 3^{202}\right) + v_{p_1}\left(p_1^2\right)\geq 3$$

Tức $p_1^3 \mid 2^{202p_1^2} + 3^{202p_1^2}$.

Giả sử với $m\in\mathbb N^*$ ta chọn được các số nguyên tố $p_1,p_2,...,p_m$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện: $$n^3\mid 2^{202n^2} + 3^{202n^2}\text{, với } n = p_1p_2...p_m$$

và $p_1,p_2,...,p_m$ là ước của $2^{202\left(\frac{n}{p_m}\right)^2}+3^{202\left(\frac{n}{p_m}\right)^2}$.

Theo định lý Zsigmondy, tồn tại số nguyên tố $p_{m+1}$ là ước của $2^{202n^2} + 3^{202n^2}$ mà không là ước của $2^{202\left(\frac{n}{p_m}\right)^2}+3^{202\left(\frac{n}{p_m}\right)^2}$.

Thế thì $p_{m+1} \neq p_i,\forall i = \overline{1,m}$.

Đặt $k = np_{m+1}$, ta có $v_{p_{m+1}}\left(2^{202k^2} + 3^{202k^2}\right) = v_{p_{m+1}}\left(2^{202n^2} + 3^{202n^2}\right) + v_{p_{m+1}}\left(p_{m+1})^2\right) \geq 3$

$\Rightarrow p_{m+1}^3 \mid 2^{202k^2} + 3^{202k^2}$.

Đồng thời $n^3 \mid 2^{202n^2} + 3^{202n^2}\Rightarrow n^3\mid 2^{202k^2} + 3^{202k^2}$

$\Rightarrow k^3\mid 2^{202k^2} + 3^{202k^2}$.

Hơn nữa $p_1,p_2,...,p_{m+1}$ là ước của $2^{202\left(\frac{k}{p_{m+1}}\right)^2} + 3^{202\left(\frac{k}{p_{m+1}}\right)^2}$.

Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 13-11-2022 - 19:58