Chủ đề này có 5 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Tính số nghiệm nguyên dương của phương trình
$$a+2b+3c=100$$
2/ Có bao nhiêu xâu "$aaabbbccc$" mà trong đó không chứa xâu con "$abc.$"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 11-11-2022 - 08:31

[chanhquocnghiem]

1/ Tính số nghiệm nguyên dương của phương trình
$$a+2b+3c=100$$

Gọi số nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là $k$.

Đặt $x=a-1$ ; $y=b-1$ ; $z=c-1$

$\Rightarrow k$ cũng là số nghiệm tự nhiên của pt $x+2y+3z=94$  ($x,y,z\in \mathbb{N}$)

Lại đặt $m=x+y+z$ ; $n=y+z$ ; $p=z$

$\Rightarrow k$ là số nghiệm tự nhiên của pt $m+n+p=94$ thỏa mãn điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$.

Xét phương trình $m+n+p=94$  $(^*)$

Nếu không ràng buộc điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$ thì pt này có tất cả $C_{96}^{2}$ nghiệm tự nhiên, trong đó :

+ Không có nghiệm nào thỏa mãn $m=n=p$

+ Có đúng $48.C_{3}^{1}=144$ nghiệm mà trong $3$ số $m,n,p$ có đúng $2$ số bằng nhau.

+ Có $C_{96}^{2}-144=4416$ nghiệm mà trong đó $m,n,p$ khác nhau từng đôi một (suy ra có $\frac{4416}{3!}=736$ cách chọn $m,n,p$ sao cho $m> n> p$)

Nếu tính đến điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$ thì số nghiệm tự nhiên của pt $(^*)$ là : $48+736=784$

Vậy số nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là $k=784$.

[chanhquocnghiem]

2/ Có bao nhiêu xâu "$aaabbbccc$" mà trong đó không chứa xâu con "$abc.$"

Gọi $M_i$ là số cách sắp xếp sao cho có đúng $i$ xâu con $abc$. Dễ thấy $M_3=1$, ta tính $M_2$ như sau :

+ Đánh số các vị trí từ $1$ đến $9$ theo chiều từ trái sang phải.

+ Chọn 2 bộ ba vị trí $(m,m+1,m+2)$ và $(n,n+1,n+2)$ thỏa mãn các điều kiện $1\leqslant m\leqslant 4$ ; $m+3\leqslant n\leqslant 7$

   Đến đây có 2 trường hợp xảy ra :

   $\textbf{TH1}$ : $m$ và $n$ không đồng thời có dạng 3k+1 : Có $7$ cách chọn $m$ và $n$.

   $\textbf{TH2}$ : $m$ và $n$ cùng có dạng 3k+1 : Có $3$ cách chọn $m$ và $n$.

+ Điền $a$ vào vị trí $m,n$ ; $b$ vào vị trí $m+1,n+1$ ; $c$ vào vị trí $m+2,n+2$ sau đó điền $a,b,c$ vào $3$ vị trí còn lại sao cho có đúng $2$ xâu con $abc$

   $\textbf{TH1}$ có $3!=6$ cách điền, $\textbf{TH2}$ có $5$ cách điền.

$\Rightarrow M_2=7.6+3.5=57$.

Số cách sắp xếp sao cho có ít nhất $1$ xâu con $abc$ là $7C_6^2C_4^2C_2^2-M_2-2M_3=571$

Đáp án bài toán là $\frac{9!}{(3!)^3}-571=1109$ xâu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 11-11-2022 - 20:36

[Nobodyv3]

1/Ta có hàm sinh sau:
$\begin {align*}
f(x)&=\frac{x}{1-x}\frac{x^2}{1-x^2}\frac{x^3}{1-x^3}\\&=\frac{x^6}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}\\&=\frac{x^6(1+x^2+x^4)(1+x^3)}{(1-x)(1-x^6)^2}\\&=(x^6+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{13})\sum_{j=0}^{\infty }\sum_{i=0}^{\infty }\binom{i+1}{1}x^{6i+j}
\end {align*}$
Nhân đây, xin giới thiệu 1 cách
"phi truyền thống " để tính hệ số:
Ta thấy $6i+j=87,89,90,91,92,94$ nên :
$[x^{100}]f(x)=\sum_{j=0}^{\infty }\left [ \binom{\frac{87-3-6j}{6}+1}{1}+\binom{\frac{89-5-6j}{6}+1}{1}+\binom{\frac{90-6j}{6}+1}{1}\\
+\binom{\frac{91-1-6j}{6}+1}{1}+\binom{\frac{92-2-6j}{6}+1}{1}+\binom{\frac{94-4-6j}{6}+1}{1}\right ] \\
=2\binom{16}{2}+4\binom{17}{2}
=\boldsymbol {784} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 11-11-2022 - 23:19

[Nobodyv3]

2/Ta có :
$\bullet$ xâu $3a,3b,3c\longrightarrow\frac{9!}{3!3!3!}$
$\bullet$ xâu $ 1abc,2a,2b,2c\longrightarrow\frac{7!}{1!2!2!2!}$
$\bullet$ xâu $2abc,1a,1b,1c\longrightarrow\frac{5!}{2!1!1!1!}$
$\bullet$ xâu $3abc\longrightarrow\frac{3!}{3!}$
Theo nguyên lý bù trừ số các xâu thỏa yêu cầu là :
$\frac{9!}{3!3!3!}-\frac{7!}{1!2!2!2!}+\frac{5!}{2!1!1!1!}-\frac{3!}{3!}=\boldsymbol {1109}$

[chanhquocnghiem]

Viết thế này cho nó "có tính mỹ thuật" :

$\sum_{k=0}^{3}\frac{(-1)^k(9-2k)!}{k!\left [ (3-k)! \right ]^3}=\textbf{1109}$.