Chủ đề này có 2 trả lời

[hans]

1)$D_{n}=\begin{vmatrix} n & a& a& ...& a\\ a& n& a& ... & a\\ a& a& n& ...& a\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ a& a& a& \cdots &n \end{vmatrix}$

 

2)

$E_{n}= \begin{vmatrix} a& a& a & ... & a& n\\ a& a& a& ...& n & a\\ \vdots & \vdots & \vdots & ...& \vdots & \vdots \\ n& a& a& ...& a& a \end{vmatrix}$

Mong ai đó giúp em cách làm cụ thể 2 câu này với ạ

[vo van duc]

Bài 1:

 

$$\begin{align*} D_n &=\left | \begin{matrix} n & a & a & \cdots & a \\ a & n & a & \cdots & a \\ a & a & n & \cdots & a\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \cdots & n \end{matrix} \right | \\ &= \left | \begin{matrix} n+(n-1)a & a & a & \cdots & a \\ n+(n-1)a & n & a & \cdots & a \\ n+(n-1)a & a & n & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n+(n-1)a & a & a & \cdots & a \end{matrix} \right | \\ &= \left [ n+(n-1)a \right ].\left | \begin{matrix} 1 & a & a & \cdots & a \\ 1 & n & a & \cdots & a \\ 1 & a & n & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & a & a & \cdots & a \end{matrix} \right | \\ &=\left [ n+(n-1)a \right ].\left | \begin{matrix} 1 & a & a & \cdots & a \\ 0 & n-a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & n-a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n-a \end{matrix} \right | \\ &=\left [ n+(n-1)a \right ].(n-a)^{n-1}. \end{align*}$$

[vo van duc]

Bài 2: Bằng cách đổi chỗ

+ hàng $1$ và hàng $n$;

+ hàng $2$ và hàng $n-1$;

+ hàng $3$ và hàng $n-2$;

+ ....

ta được định thức như bài 1.

 

Với một lần đổi chỗ hai hàng thì định thức đổi dấu một lần, do đó, định thức đã đổi dấu $\left [ \dfrac{n}{2} \right ]$ lần.

 

Vậy, $E_n=(-1)^{\left [ \frac{n}{2} \right ]}D_n=(-1)^{\left [ \frac{n}{2} \right ]}.\left [ n+(n-1)a \right ].(n-a)^{n-1}$.