Chủ đề này có 3 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Tính tổng các số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ $0,0,1,1,2,3.$
2/ Với $a\neq b\neq c$,  tính tổng
$$S=\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{n}\sum_{c=1}^{n}abc   $$

[chanhquocnghiem]

Tính tổng các số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ $0,0,1,1,2,3.$

Ta chia các trường hợp như sau :

$\textbf{TH1}$ : Thiếu $1$ chữ số $0$ (chỉ gồm $\left \{ 0,1,1,2,3 \right \}$)
$\textbf{TH2}$ : Thiếu $1$ chữ số $1$ (chỉ gồm $\left \{ 0,0,1,2,3 \right \}$)

$\textbf{TH3}$ : Thiếu chữ số $2$ (chỉ gồm $\left \{ 0,0,1,1,3 \right \}$)

$\textbf{TH4}$ : Thiếu chữ số $3$ (chỉ gồm $\left \{ 0,0,1,1,2 \right \}$)

+ Ở hàng chục ngàn :

   Chữ số $1$ xuất hiện $24$ lần trong TH1, $12$ lần trong mỗi TH còn lại.

   Chữ số $2$ xuất hiện $12$ lần trong TH1, $12$ lần trong TH2 và $6$ lần trong TH4.

   Chữ số $3$ xuất hiện $12$ lần trong TH1, $12$ lần trong TH2 và $6$ lần trong TH3.

+ Ở mỗi hàng còn lại :

   Chữ số $1$ xuất hiện $18$ lần trong TH1, $6$ lần trong mỗi TH còn lại.
   Chữ số $2$ xuất hiện $9$ lần trong TH1, $6$ lần trong TH2 và $3$ lần trong TH4.

   Chữ số $3$ xuất hiện $9$ lần trong TH1, $6$ lần trong TH2 và $3$ lần trong TH3.

Tổng cần tính là $\left [ 60.1+30.(2+3) \right ].10^4+\left [ 36.1+18.(2+3) \right ].1111=2239986$.

[Nobodyv3]

Một cách lập luận khác :
Trước hết, ta xem chữ số 0 phía trái ngoài cùng là có nghĩa.
Ta có 6 chữ số ký hiệu $a_i$. Lần lượt chọn 
$a_i$ vào mỗi 5 vị trí, bố trí 5 chữ số vào 4 vị trí còn lại thì ta có tổng các số là :
$( a_1+...+ a_6  )\cdot  5\cdot 4\cdot 3\cdot 2( 10^4+10^3+10^2+10^1+10^0)=(0+0+1+1+2+3)\cdot 120\cdot 11111=9333240$
Nhưng ta đã đếm trùng lặp vì có 2 chữ số 0 và 2 chữ số 1 do đó tổng các số là :
$\frac {9333240}{2!2!}=2333310$
Cũng lập luận như trên, ta có tổng các số có 4 chữ số lập từ $0,1,1,2,3$:
$\frac {(0+1+1+2+3).4.3.2.1111}{2!}=93324$
Tổng các số thỏa yêu cầu là :
$2333310-93324=\boldsymbol {2239986}$

[Nobodyv3]

2/- Với $a,b,c$ không có ràng buộc gì thì :
$S_1=\frac{n^3(n+1)^3}{8}$
- Có 1 cặp bằng nhau ($a=b$ chẳng hạn) thì:
$S_2=\binom{3}{2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\frac{n(n+1)}{2}$
- Với $a=b=c$ thì:
$S_3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
Theo nguyên lý bù trừ ta có :
$S=S_1-S_2+S_3=\boldsymbol {\frac{n^2(n+1)^2(n-1)(n-2)}{8}}$