Chủ đề này có 5 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Tính tổng các hệ số của $x^{15}, x^{16},...,x^{20}$ trong khai triển $(1+x+ x^{2}+x^{3}+x^{4})^5$
2/ Tính hệ số của $x^{-20}  $ trong khai triển của $\frac {3x^3-x}{x^3-x+1}$

[chanhquocnghiem]

Tính tổng các hệ số của $x^{15}, x^{16},...,x^{20}$ trong khai triển $(1+x+ x^{2}+x^{3}+x^{4})^5$

Do tính đối xứng, tổng các hệ số cần tìm cũng chính là tổng các hệ số của $x^0,x^1,x^2,...,x^5$.

$f(x)=(1+x+x^2+...+x^4)^5=(1-x^5)^5(1-x)^{-5}=(-x^{25}+5x^{20}-...-5x^5+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+4}^4x^k$

$\left [ x^0 \right ]f(x)=C_4^4$

$\left [ x^1 \right ]f(x)=C_5^4$

$\left [ x^2 \right ]f(x)=C_6^4$

$\left [ x^3 \right ]f(x)=C_7^4$

$\left [ x^4 \right ]f(x)=C_8^4$

$\left [ x^5 \right ]f(x)=C_9^4-5C_4^4$

Tổng cần tìm là $\left ( C_4^4+C_5^4+C_6^4+...+C_9^4 \right )-5C_4^4=C_{10}^5-5=247$.
 

[chanhquocnghiem]

Tính hệ số của $x^{-20}  $ trong khai triển của $\frac {3x^3-x}{x^3-x+1}$

$\frac{3x^3-x}{x^3-x+1}=3+\frac{2x-3}{x^3-x+1}$

Để tìm hệ số của $x^{-20}$, ta có thể lập một bảng có $3$ cột, $19$ hàng.

Gọi số điền vào hàng $i$, cột $j$ là $a_{i,j}$. Ta điền theo quy tắc sau :

$\left\{\begin{matrix}a_{1,1}=2\\a_{1,2}=-3\\a_{1,3}=0\\a_{k+1,1}=a_{k,2}\\a_{k+1,2}=a_{k,1}+a_{k,3}\\a_{k+1,3}=-a_{k,1} \end{matrix}\right.$

                                                        2                        -3                       0

                                                       -3                         2                      -2

                                                        2                        -5                       3

                                                        .......................................................

                                                        .......................................................

Hệ số cần tìm chính là $a_{19,1}=a_{18,2}=277$.
 

[Nobodyv3]

Bài 1bis: Tính số nghiệm nguyên của
$$x_1+ x_2+x_3+x_4+ x_5+x_6=20 $$
trong đó  $0\leq x_1, x_2,x_3,x_4,x_5 \leq 4; 0\leq x_6 \leq 5$

[chanhquocnghiem]

Bài 1bis: Tính số nghiệm nguyên của
$$x_1+ x_2+x_3+x_4+ x_5+x_6=20 $$
trong đó  $0\leq x_1, x_2,x_3,x_4,x_5 \leq 4; 0\leq x_6 \leq 5$

Hàm sinh cho số cách chọn bộ nghiệm phương trình đã cho theo yêu cầu đề bài :

$f(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4)^5(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)=\left ( \frac{1-x^5}{1-x} \right )^5\frac{1-x^6}{1-x}=$

      $=(1-x^6)(-x^{25}+5x^{20}-10x^{15}+...-5x^5+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$
Số nghiệm theo yêu cầu đề bài là $\left [ x^{20} \right ]f(x)=\left [ x^5 \right ]f(x)=C_{10}^5-5C_5^5=247$.

[Nobodyv3]

Như vậy bài 1 và bài 1bis là anh em song sinh!
Thực lòng, sau khi xem bài giải 1 và 2, em cảm thấy bất ngờ với cách giải của anh. Cảm ơn anh.
Sau đây là lời giải khác của bài 2:
2/ Đặt $y=\frac{1}{x}$ ta có :
$
\frac{3x^3-x}{x^3-x+1}=\frac{3\left ( \frac{1}{y} \right )^3-\left ( \frac{1}{y} \right )}{\left ( \frac{1}{y} \right )^3-\left ( \frac{1}{y} \right )+1}=\frac{3-y^2}{1-y^2+y^3}$
Lúc này $[x^{-20}]$ trở thành $[y^{20}]:$
$\begin {align*}
\Longrightarrow [y^{20}]\frac{3-y^2}{1-\left ( y^2-y^3 \right )}&=[y^{20}](3-y^2)\sum_{n\geq 0}\left ( y^2-y^3 \right )^n\\
&=[y^{20}](3-y^2)\sum_{n= 0}^{\infty }\sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m}(-1)^my^{2n+m}\\
&=3\sum_{n=0\atop0\leq 20-2n\leq n}\binom{n}{20-2n}-\sum_{n=0\atop0\leq 18-2n\leq n}\binom{n}{18-2n}\\
&=3\sum_{n=0\atop7\leq n\leq 10}\binom{n}{20-2n}-\sum_{n=0\atop0\leq n\leq 9}\binom{n}{18-2n}\\
&=3\left [ \binom{7}{6}+\binom{8}{4}+\binom{9}{2}+\binom{10}{0}\right]\\
& -\left [ \binom{6}{6}+\binom{7}{4}+\binom{8}{2}+\binom{9}{0} \right ]=\boldsymbol {277}
\end {align*}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-11-2022 - 21:56