Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm p nguyên tố; với $x,y \epsilon \mathbb{Z}$ thỏa mãn: $p+1=2x^2$ và $p^2+1=2y^2$.

tìm số nguyên tố p

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 mailinh2k4

mailinh2k4

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:nghe nhạc, xem phim , đi du lịch...

Đã gửi 27-05-2020 - 05:10

Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn $x,y \epsilon  \mathbb{Z}$ thỏa mãn: $p+1=2x^2$ và $p^2+1=2y^2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 27-05-2020 - 11:59


#2 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1753 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 27-05-2020 - 19:46

Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn $x,y \epsilon  \mathbb{Z}$ thỏa mãn: $p+1=2x^2$ và $p^2+1=2y^2$.

Lời giải:

Ta có nhận xét như sau: Nếu $(x_0;y_0;p_0)$ là một nghiệm của phương trình trên thì $(-x_0;y_0;p_0),(-x_0;-y_0;p_0);(x_0;-y_0;p_0)$ cũng là nghiệm của phương trình trên. Do đó không mất tính tổng quát: Giả sử $x>0;y>0$. (Bằng cách thay trực tiếp, ta thấy x,y không thể bằng 0)

Đặt $p+1=2x^2 \rightarrow \text{(1)}; p^2+1=2y^2 \rightarrow \text{(2)}$

Nhận xét: Thay $p=2$ vào (1) và (2). Ta dễ dàng thấy đươc không tồn tại $x,y\in \mathbb{Z}$. Từ đây ta suy ra $p$ lẻ.

Lấy $(2)-(1)$ vế tho vế ta được: $p(p-1)=2(y-x)(y+x) \rightarrow \text{(3)}$

Từ $(3)\implies y>x> 0$.

Do $p$ là số nguyên tố và $p$ lẻ nên từ đây ta suy ra được $p|(y-x)$ hoặc $p|(y+x)$ (Ghi chú: $a|b$ có nghĩa là $a$ là ước của $b$). 

 

  +Nếu $p|(y-x)\implies p\le y-x$. Từ $(3)$ ta suy ra được $p-1\ge 2(x+y)$. Điều này mâu thuẫn vì $p\le y-x<2(x+y)\le p-1$. 

Do đó $p|(x+y)$. Khi đó $p\le (x+y)\implies p-1\le 2(y-x)$.

Đặt $p\le x+y \rightarrow \text{(4)}; p-1\le 2(y-x) \rightarrow \text{(5)}$.

Lấy $2*(4)-(5)$ vế theo vế ta được: $p+1\le 4x$ hay $2x^2\le 4x$.

Do $x\ge 0\implies x=1$ hoặc $x=2$

Nếu $x=1$, ta có $p=1$ không phải là số nguyên tố -> loại
Nếu $x=2$, ta có $p=7$ -> thỏa mãn. Lúc này $y=5$.
Vậy tập nghiệm của bài toán đã cho là $(|x|;|y|;p)=(2;5;7)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 02-06-2020 - 06:44

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến

Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh