Cho $a,b,c \in [0,2]$ và $a+b+c=3$. Tìm GTLN của $a^3+b^3+c^3 - 3(a-1)(b-1)(c-1)$.
Tìm GTLN của $a^3+b^3+c^3 - 3(a-1)(b-1)(c-1)$
Bắt đầu bởi Tea Coffee, 16-11-2022 - 23:32
#1
Đã gửi 16-11-2022 - 23:32
Tea Coffee
-
- Điều hành viên THPT
-
- 772 Bài viết
Trung úy
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#2
Đã gửi 17-11-2022 - 12:01
Hoang72
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 539 Bài viết
Thiếu úy
$\begin{aligned}P=a^3+b^3+c^3 - 3(a-1)(b-1)(c-1) &= (a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) - 3(a-1)(b-1)(c-1) \\&= 27 - 3(3-a)(3-b)(3-c) - 3(a-1)(b-1)(c-1)\end{aligned}$
Có $(3-a)(3-b)(3-c) + (a-1)(b-1)(c-1) = 26 + 2(ab+bc+ca) - 8(a+b+c) = 2 + 2(ab+bc+ca)$.
Mặt khác, từ giả thiết $a,b,c\in [0;2]$ suy ra $abc + (2-a)(2-b)(2-c) \geq 0$
$\Rightarrow 8 + 2(ab+bc+ca) - 4(a+b+c)\geq 0\Rightarrow ab+bc+ca\geq 2$
$\Rightarrow 2+2(ab+bc+ca)\geq 6$
$\Rightarrow P\leq 27 - 3.6 = 9$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c) = (2;1;0)$ và các hoán vị.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 17-11-2022 - 12:02
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
