1 reply to this topic

[Sprouts]

Trong một vòng thi toán chung kết tại trường A, các thí sinh phải giải 9 bài toán. Biết rằng mỗi thí sinh giải được đúng 6 bài, và với hai thí sinh bất kì thì giải đúng chung 3 bài. Tìm số thí sinh dự thi.

[chuyenndu]

đánh số các thí sinh là 1,2,...,n và gọi $A_i$ là tập hợp các bài mà thí sinh $i$ làm được thì $|A_i|=6$ và $|A_i\cup A_j|=3$

với $i\in\{1,2,...,9\}$ gọi $d_i$ là số thí sinh làm được bài $i$

lập bảng $n\times 9$, đếm bằng hai cách có $\sum_{i=1}^9d_i=\sum_{i=1}^n|A_i|=6n$ và $\sum_{i=1}^9C_{d_i}^2=\sum_{i\neq j}|A_i\cap A_j|=3C_n^2$

rút gọn thì $\sum_{i=1}^9d_i^2=3n(n+1)$

có $3n(n+1)=\sum_{i=1}^9d_i^2\ge \frac{(\sum_{i=1}^9d_i)^2}{9}=\frac{36n^2}{9}$ nên $n\le 3$