Chủ đề này có 1 trả lời

[Khai Hung]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{1}{2}(\sqrt{3a^2+b^2}+\sqrt{3b^2+c^2}+\sqrt{3c^2+a^2})$

[HuyCubing]

Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có $\large \sqrt{3a^2+b^2}=\dfrac{\sqrt{4b}\sqrt{\frac{3a^2}{b}+b}}{2}\leqslant \dfrac{4b+\frac{3a^2}{b}+b}{4}=\frac{3a^2}{4b}+\dfrac{5b}{4}.$

Suy ra $\dfrac{\sqrt{3a^2+b^2}}{2}\leqslant \frac{3a^2}{8b}+\dfrac{5b}{8}. $ Thực hiện tương tự rồi cộng các kết quả lại, ta được $$VP\leqslant \frac{3}{8}\sum \frac{a^2}{b} + \dfrac{5}{8}\sum a .$$

Do đó, ta chỉ cần chỉ ra $$\sum \dfrac{a^2}{b}\geqslant \frac{3}{8}\sum \frac{a^2}{b} + \dfrac{5}{8}\sum a, $$

hay là $$\sum \frac{a^2}{b} \geqslant \sum a.$$

Bất đẳng thức cuối này hiển nhiên  .