Chủ đề này có 6 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu bộ nghiệm nguyên không âm của
$$x_1+x_2+x_3+ x_4+x_5+ x_6=15 $$
với $ x_i\geq 0$ và $x_j\neq 2,2\leq j\leq 5 $
2/ Tìm phần dư của $\frac{x^{2025}}{(x^2+1)(x^2+x+1)} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-11-2022 - 22:14

[chanhquocnghiem]

Có bao nhiêu bộ nghiệm nguyên không âm của
$$x_1+x_2+x_3+ x_4+x_5+ x_6=15 $$
với $ x_i\geq 0$ và $x_j\neq 2,2\leq j\leq 5 $

Hàm sinh cho số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình đã cho :

$f(x)=\left ( \frac{1-x^{16}}{1-x} \right )^2\left ( \frac{1-x^{16}}{1-x}-x^2 \right )^4=\frac{(1-x^{16})^2(1-x^2+x^3-x^{16})^4}{(1-x)^6}=$

      $=(...+1)(...+x^6-2x^5+x^4+2x^3-2x^2+1)^2(1-x)^{-6}=$

      $=(...+x^{12}-4x^{11}+6x^{10}-11x^8+12x^7+2x^6-12x^5+6x^4+4x^3-4x^2+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$

Số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình đã cho là

$\left [ x^{15} \right ]f(x)=C_8^5-4C_9^5+6C_{10}^5-11C_{12}^5+12C_{13}^5+2C_{14}^5-12C_{15}^5+6C_{16}^5+4C_{17}^5-4C_{18}^5+C_{20}^5=7956$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-11-2022 - 07:48

[Nobodyv3]

Sẵn trớn làm luôn...
3/ Tính số bộ nghiệm nguyên dương của
$$x_1+x_2+x_3+ x_4=23 $$
với $x_3\neq 2x_4$ và $x_2\neq x_3 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 20-11-2022 - 09:12

[chanhquocnghiem]

Tìm phần dư của $\frac{x^{2025}}{(x^2+1)(x^2+x+1)} $

$\frac{x^{2025}}{(x^2+1)(x^2+x+1)}=\frac{x^{2025}}{x^4+x^3+2x^2+x+1}$

Để tìm phần dư của phép chia này, ta có thể lập một bảng có $4$ cột và $13$ hàng (Tại sao biết trước là $13$ hàng, các bạn thử nghĩ xem ?)

Gọi số điền vào hàng $i$, cột $j$ là $a_{i,j}$. Ta điền theo quy tắc sau :

$\left\{\begin{matrix}a_{1,1}=1\\a_{1,2}=0\\a_{1,3}=0\\a_{1,4}=0\\a_{k+1,1}=a_{k,2}-a_{k,1}\\a_{k+1,2}=a_{k,3}-2a_{k,1}\\a_{k+1,3}=a_{k,4}-a_{k,1}\\a_{k+1,4}=-a_{k,1} \end{matrix}\right.$

   1                       0                       0                     0    (hàng thứ nhất)

  -1                      -2                      -1                    -1                                                                   

  -1                       1                       0                     1                                                       

   2                       2                       2                     1

   0                      -2                      -1                    -2

  -2                      -1                      -2                     0

   1                       2                       2                      2    (hàng thứ bảy)

   .............................................................................

   .............................................................................

   1                       0                       0                      0   (hàng thứ mười ba)

Số $a_{i,1}$ là ứng với $x^{2026-12m-i}$. Đa thức dư cần tìm ứng với $x^3$ nên $i=7$

$\Rightarrow$ đa thức dư cần tìm là $x^3+2x^2+2x+2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 21-11-2022 - 06:37

[chanhquocnghiem]

Tính số bộ nghiệm nguyên dương của
$$x_1+x_2+x_3+ x_4=23 $$
với $x_3\neq 2x_4$ và $x_2\neq x_3 $

Đặt $y_i=x_i-1$ ($y_i$ nguyên không âm)

Số bộ nghiệm nguyên dương cần tìm cũng chính là số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình $y_1+y_2+y_3+y_4=19$ thỏa mãn $y_2\neq y_3$ $(1)$ và $y_3\neq 2y_4+1$ $(2)$

Phương trình $y_1+y_2+y_3+y_4=19$ có $C_{22}^3$ bộ nghiệm nguyên không âm.

a) Xét trường hợp $y_2=y_3\Rightarrow y_1+2y_2+y_4=19$
  + Nếu $y_2=k$ ($0\leqslant k\leqslant 9$) $\Rightarrow y_1+y_4=19-2k$ có $20-2k$ nghiệm.

     Vậy trường hợp này có $\sum_{k=0}^{9}(20-2k)=20.10-2\sum_{k=0}^{9}k=200-2.45=110$ bộ nghiệm.

b) Xét trường hợp $y_3=2y_4+1\Rightarrow y_1+y_2+3y_4=18$
  + Nếu $y_4=k$ ($0\leqslant k\leqslant 6$) $\Rightarrow y_1+y_2=18-3k$ có $19-3k$ nghiệm.

     Vậy trường hợp này có $\sum_{k=0}^{6}(19-3k)=19.7-3\sum_{k=0}^{6}k=133-3.21=70$ bộ nghiệm.

c) Xét trường hợp $y_2=y_3=2y_4+1\Rightarrow y_1+5y_4=17$. Phương trình này có $4$ bộ nghiệm.
 

Vậy số bộ nghiệm của phương trình $y_1+y_2+y_3+y_4=19$ thỏa mãn cả $(1)$ và $(2)$, cũng là đáp án bài toán là

$C_{22}^3-110-70+4=1364$.

[Nobodyv3]

2/Ta thấy :
$x^{2025}\equiv x\left ( (-1)^{1012} \right )\equiv x\pmod {x^2+1}\\
x^{2025}\equiv (1)^{675}\equiv 1\pmod{x^2+x+1}\\
\Rightarrow r(x)=x+(x^2+1)u(x)=1+(x^2+x+1)v(x)$
Ta có :
$\begin{pmatrix}
x^2+1&x^2+x+1 \\
1& 0\\
0& 1
\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}
x^2+1&x \\
1&-1 \\
0 &1
\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}
1& x\\
x+1&-1 \\
-x&1 
\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}
1&x-1 \\
x+1&-x-2 \\
-x&x+1
\end{pmatrix}\\
\Rightarrow (-x-2)(x^2+1)+(x+1)(x^2+x+1)=x-1\Rightarrow u(x)=x+2$
Do đó :
$r(x)=x+(x^2+1)(x+2)=\boldsymbol {x^3+2x^2+2x+2}$

[Nobodyv3]

3/ Sẵn trớn, giải hoàn toàn bằng hàm sinh.
a) Với $x_i\geq1 $ Ta có hàm sinh :
$f(z)=\left (\frac{z}{1-z} \right )^4\\
\Rightarrow [z^{23}]f(z)=[z^{19}]\left (\frac{1}{1-z} \right )^4 =\binom{22}{3}=1540$
b) Với $x_3=2x_4$ ta có pt:
$x_1+x_2+3x_4=23$
và hàm sinh :
$f(z)=\left (\frac{z^3}{1-z^3}  \right )\left (\frac{z}{1-z} \right )^2\\
\Rightarrow [z^{23}]f(z)=[z^{18}]\left (\frac{1}{1-z} \right )^2\frac{1}{1-z^3}  =70$
c) Với $x_2=x_3$ ta có pt:
$ x_1+2x_2+x_4=23$
và hàm sinh :
$f(z)=\left (\frac{z^2}{1-z^2}  \right )\left (\frac{z}{1-z} \right )^2\\
\Rightarrow [z^{23}]f(z)=[z^{19}]\left (\frac{1}{1-z} \right )^2\frac{1}{1-z^2} =110$
d) Với $x_2=x_3=2x_4$ ta có pt:
$x_1+5x_4=23$
và hàm sinh :
$f(z)=\frac{z}{1-z}\frac{z^5}{1-z^5}\\
\Rightarrow [z^{23}]f(z)=[z^{17}]\frac{1}{1-z}\frac{1}{1-z^5}=4$
Do đó, theo nguyên lý bù trừ thì số nghiệm thỏa yêu cầu là :
$1540-70-110+4=\boldsymbol {1364}$