Chủ đề này có 4 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Tính xác suất để 1 con xúc xắc sau $10$ lần tung có tổng số điểm là $30.$  
2/ Bộ bài 52 lá được chia đều cho 4 người chơi. Hỏi xác suất để có ít nhất 2 người chơi  không có lá Xì nào.

[chanhquocnghiem]

Tính xác suất để 1 con xúc xắc sau $10$ lần tung có tổng số điểm là $30.$ 

Hàm sinh cho số cách gieo xúc sắc thỏa mãn yêu cầu bài toán là $f(x)=x^{10}\left ( \frac{1-x^6}{1-x} \right )^{10}=(1-x^6)^{10}x^{10}(1-x)^{-10}$

$=(x^{60}-10x^{54}+45x^{48}-...+210x^{24}-120x^{18}+45x^{12}-10x^6+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}$

$\left [ x^{30} \right ](-120x^{18})\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=\left [ x^{12} \right ](-120)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=(-120)C_{11}^9=-6600$

$\left [ x^{30} \right ](45x^{12})\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=\left [ x^{18} \right ]45\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=45C_{17}^9=1093950$

$\left [ x^{30} \right ](-10x^6)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=\left [ x^{24} \right ](-10)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=-10C_{23}^9=-8171900$

$\left [ x^{30} \right ]\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=C_{29}^9=10015005$

$\Rightarrow$ Số cách gieo xúc sắc thỏa mãn yêu cầu là $2930455$ cách.
Xác suất cần tính là $\frac{2930455}{6^{10}}\approx 0,048464$.

[Nobodyv3]

Hàm sinh cho số cách gieo xúc sắc thỏa mãn yêu cầu bài toán là $f(x)=x^{10}\left ( \frac{1-x^6}{1-x} \right )^{10}=(1-x^6)^{10}x^{10}(1-x)^{-10}$
$=(x^{60}-10x^{54}+45x^{48}-...+210x^{24}-120x^{18}+45x^{12}-10x^6+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}$
$\left [ x^{30} \right ](-120x^{18})\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=\left [ x^{12} \right ](-120)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=(-120)C_{11}^9=-6600$
$\left [ x^{30} \right ](45x^{12})\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=\left [ x^{18} \right ]45\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=45C_{17}^9=1093950$
$\left [ x^{30} \right ](-10x^6)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=\left [ x^{24} \right ](-10)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=-10C_{23}^9=-8171900$
$\left [ x^{30} \right ]\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k+10}=C_{29}^9=10015005$
$\Rightarrow$ Số cách gieo xúc sắc thỏa mãn yêu cầu là $2930455$ cách.
Xác suất cần tính là $\frac{2930455}{6^{10}}\approx 0,048464$.

Thú vị quá phải không anh...
Em xin góp ý tí xíu để giảm bớt tính toán :
$f(x)=x^{10}\left ( \frac{1-x^6}{1-x} \right )^{10}=(1-x^6)^{10}x^{10}(1-x)^{-10}\\
=(x^{60}-10x^{54}+45x^{48}-...+210x^{24}-120x^{18}+45x^{12}-10x^6+1)x^{10}\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k}\\
\Rightarrow \left [ x^{30} \right ]f(x)=
\left [ x^{20} \right ] (...-120x^{18}+45x^{12}-10x^6+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k}\\
=\left(-120\left [ x^{2} \right ]+45\left [ x^{8} \right ]-10\left [ x^{14} \right ]+\left [ x^{20} \right ] \right) \sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^{k}\\
=-120C_{11}^{9}+45C_{17}^{9}-10C_{23}^{9}+C_{29}^{9}$
Enjoy!

[chanhquocnghiem]

Bộ bài 52 lá được chia đều cho 4 người chơi. Hỏi xác suất để có ít nhất 2 người chơi  không có lá Xì nào.

+ Tính số cách chia sao cho ai cũng có lá Xì : Có $4!.C_{48}^{12}C_{36}^{12}C_{24}^{12}$ cách.

+ Tính số cách chia sao cho chỉ có $1$ người không có lá Xì :

   Chọn người không có lá Xì : $4$ cách.

   Chia $4$ lá Xì cho $3$ người kia sao cho ai cũng được ít nhất $1$ lá : Có $\sum_{k=0}^{3}(-1)^kC_3^k(3-k)^4=36$ cách

   Chia bổ sung các lá bài còn lại sao cho ai cũng đủ $13$ lá : Có $C_{48}^{13}C_{35}^{11}C_{24}^{12}$ cách

 

Xác suất cần tính là $P=\frac{C_{52}^{13}C_{39}^{13}C_{26}^{13}-24C_{48}^{12}C_{36}^{12}C_{24}^{12}-144C_{48}^{13}C_{35}^{11}C_{24}^{12}}{C_{52}^{13}C_{39}^{13}C_{26}^{13}}$

 

[Nobodyv3]

2/ Hãy tưởng tượng 1 khách sạn có 4 phòng được đánh số, trong mỗi phòng có 13 giường cũng được đánh số và 4 du khách (tượng trưng 4 Xì) được bố trí vào 4 phòng này. Theo điều kiện của bài toán thì ta có các trường hợp sau:
- cả 4 du khách (dk) vào 1 phòng: $C_{4}^{1}C_{13}^{4}$
- 3 dk vào 1 phòng và 1 dk vào 1 phòng : $A_{4}^{2}C_{13}^{3}C_{13}^{1}$
- 2 dk vào 1 phòng và 2 dk vào 1 phòng : $C_{4}^{2}C_{13}^{2}C_{13}^{2}$
XS cần tìm là :
$\frac{C_{4}^{1}C_{13}^{4}+A_{4}^{2}C_{13}^{3}C_{13}^{1}+C_{4}^{2}C_{13}^{2}C_{13}^{2}   }{C_{52}^{4} }=\boldsymbol {\frac {76}{245}\approx0,3102 }$