3/ Tính số nghiệm nguyên dương của phương trình
$$x_1+ x_2+x_3+x_4 =100$$
trong đó $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$
Đặt $x_1=k$ ; $x_2=k+a$ ; $x_3=k+b$ ; $x_4=k+c$ ($0< a< b< c$, $1\leqslant k\leqslant 23$)
Số nghiệm nguyên dương $M$ cần tìm cũng là số nghiệm nguyên dương của pt $a+b+c=100-4k$ với $a< b< c$
$\textbf{TH1}$ : $k=3m\Rightarrow a+b+c=100-12m$. Pt này có $C_{99-12m}^2$ nghiệm nguyên dương, trong đó
+ Không có nghiệm nào thỏa mãn $a=b=c$
+ Có $3(49-6m)$ nghiệm mà trong $3$ số $a,b,c$ có $2$ số bằng nhau.
$\Rightarrow$ Số nghiệm nguyên dương thỏa mãn $a< b< c$ là $\frac{C_{99-12m}^2-3(49-6m)}{3!}=12m^2-194m+784$
$\textbf{TH2}$ : $k=3m+1\Rightarrow a+b+c=96-12m$. Pt này có $C_{95-12m}^2$ nghiệm nguyên dương, trong đó
+ Có $1$ nghiệm thỏa mãn $a=b=c$
+ Có $3(46-6m)$ nghiệm mà trong $3$ số $a,b,c$ có $2$ số bằng nhau.
$\Rightarrow$ Số nghiệm nguyên dương thỏa mãn $a< b< c$ là $\frac{C_{95-12m}^2-3(46-6m)-1}{3!}=12m^2-186m+721$
$\textbf{TH3}$ : $k=3m+2\Rightarrow a+b+c=92-12m$. Pt này có $C_{91-12m}^2$ nghiệm nguyên dương, trong đó
+ Không có nghiệm nào thỏa mãn $a=b=c$
+ Có $3(45-6m)$ nghiệm mà trong $3$ số $a,b,c$ có $2$ số bằng nhau.
$\Rightarrow$ Số nghiệm nguyên dương thỏa mãn $a< b< c$ là $\frac{C_{91-12m}^2-3(45-6m)}{3!}=12m^2-178m+660$
Đáp án cần tìm $M=\sum_{m=1}^{7}(12m^2-194m+784)+\sum_{m=0}^{7}(12m^2-186m+721)+\sum_{m=0}^{7}(12m^2-178m+660)$
$=36.140-558.28+784.7+1381.8=5952$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-11-2022 - 13:26