Chủ đề này có 8 trả lời

[Nobodyv3]

1/Tính số nghiệm nguyên của phương trình
$$x_1+ x_2+x_3+x_4 =10$$
trong đó $\left | x_{i} \right |< 11 $
2/ Có bao nhiêu cách bỏ 100 viên bi giống nhau vào 4 hộp giống nhau.
3/ Tính số nghiệm nguyên dương của phương trình
$$x_1+ x_2+x_3+x_4 =100$$
trong đó $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 21-11-2022 - 21:38

[chanhquocnghiem]

1/Tính số nghiệm nguyên của phương trình
$$x_1+ x_2+x_3+x_4 =10$$
trong đó $\left | x_{i} \right |< 11 $

Số nghiệm nguyên cần tìm cũng chính là số nghiệm nguyên của phương trình $y_1+y_2+y_3+y_4=50$ với $0\leqslant y_i\leqslant 20$.

Ta có hàm sinh $f(x)=\left ( \frac{1-x^{21}}{1-x} \right )^4=(1-x^{21})^4(1-x)^{-4}=(...-4x^{21}+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+3}^3x^k$

Số nghiệm nguyên cần tìm : $\left [ x^{50} \right ]f(x)=[x^{30}]f(x)=-4C_{12}^3+C_{33}^3=4576$.
 

[chanhquocnghiem]

3/ Tính số nghiệm nguyên dương của phương trình
$$x_1+ x_2+x_3+x_4 =100$$
trong đó $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$

Đặt $x_1=k$ ; $x_2=k+a$ ; $x_3=k+b$ ; $x_4=k+c$ ($0< a< b< c$, $1\leqslant k\leqslant 23$)

Số nghiệm nguyên dương $M$ cần tìm cũng là số nghiệm nguyên dương của pt $a+b+c=100-4k$ với $a< b< c$

$\textbf{TH1}$ : $k=3m\Rightarrow a+b+c=100-12m$. Pt này có $C_{99-12m}^2$ nghiệm nguyên dương, trong đó

+ Không có nghiệm nào thỏa mãn $a=b=c$

+ Có $3(49-6m)$ nghiệm mà trong $3$ số $a,b,c$ có $2$ số bằng nhau.

$\Rightarrow$ Số nghiệm nguyên dương thỏa mãn $a< b< c$ là $\frac{C_{99-12m}^2-3(49-6m)}{3!}=12m^2-194m+784$

$\textbf{TH2}$ : $k=3m+1\Rightarrow a+b+c=96-12m$. Pt này có $C_{95-12m}^2$ nghiệm nguyên dương, trong đó

+ Có $1$ nghiệm thỏa mãn $a=b=c$

+ Có $3(46-6m)$ nghiệm mà trong $3$ số $a,b,c$ có $2$ số bằng nhau.

$\Rightarrow$ Số nghiệm nguyên dương thỏa mãn $a< b< c$ là $\frac{C_{95-12m}^2-3(46-6m)-1}{3!}=12m^2-186m+721$

$\textbf{TH3}$ : $k=3m+2\Rightarrow a+b+c=92-12m$. Pt này có $C_{91-12m}^2$ nghiệm nguyên dương, trong đó

+ Không có nghiệm nào thỏa mãn $a=b=c$

+ Có $3(45-6m)$ nghiệm mà trong $3$ số $a,b,c$ có $2$ số bằng nhau.

$\Rightarrow$ Số nghiệm nguyên dương thỏa mãn $a< b< c$ là $\frac{C_{91-12m}^2-3(45-6m)}{3!}=12m^2-178m+660$

Đáp án cần tìm $M=\sum_{m=1}^{7}(12m^2-194m+784)+\sum_{m=0}^{7}(12m^2-186m+721)+\sum_{m=0}^{7}(12m^2-178m+660)$

   $=36.140-558.28+784.7+1381.8=5952$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-11-2022 - 13:26

[Nobodyv3]

1/ Có thể tính trực tiếp mà  không biến đổi điều kiện ràng buộc.
Ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
f(z)&=\left ( z^{-10}+z^{-9}+...+z^{9}+z^{10} \right )^4=z^{-40}\left ( 1+z+...+z^{20} \right )^4\\
\Longrightarrow [z^{10}]f(z)&=[z^{50}](1-z^{21})^4(1-z)^{-4}\\
&=[z^{50}](1-4z^{21}+6z^{42}-...)\sum_{k=0}^{\infty }\binom{k+3}{3}z^k\\
&=\binom{53}{3}-4\binom{32}{3}+6\binom{11}{3}\\
&=23426-19840+990=\boldsymbol {4576}
\end{align*}$
3/ dùng hàm sinh luôn anh...

[chanhquocnghiem]

2/ Có bao nhiêu cách bỏ 100 viên bi giống nhau vào 4 hộp giống nhau.

Nếu CÓ THỂ CÓ HỘP KHÔNG CÓ BI thì số cách cần tìm cũng là số nghiệm nguyên không âm của pt $a+b+c=100-4k$ với $a\leqslant b\leqslant c$ và $0\leqslant k\leqslant 25$

$\textbf{TH1}$ : $k=3m\Rightarrow a+b+c=100-12m$. Pt này có $C_{102-12m}^2$ nghiệm nguyên không âm, trong đó

+ Không có nghiệm nào thỏa mãn $a=b=c$

+ Có $3(51-6m)$ nghiệm mà trong $3$ số $a,b,c$ có $2$ số bằng nhau.

$\Rightarrow$ Số nghiệm nguyên không âm thỏa mãn $a\leqslant b\leqslant c$ là $\frac{C_{102-12m}^2-3(51-6m)}{3!}+51-6m=12m^2-206m+884$

$\textbf{TH2}$ : $k=3m+1\Rightarrow a+b+c=96-12m$. Làm tương tự, ta có số nghiệm nguyên không âm thỏa mãn $a\leqslant b\leqslant c$ là $12m^2-198m+817$

$\textbf{TH3}$ : $k=3m+2\Rightarrow a+b+c=92-12m$. Cũng tương tự, ta có số nghiệm nguyên không âm thỏa mãn $a\leqslant b\leqslant c$ là $12m^2-190m+752$

Vậy NẾU CÓ THỂ CÓ HỘP KHÔNG CÓ BI thì đáp án là $\sum_{m=0}^{8}(12m^2-206m+884)+\sum_{m=0}^{8}(12m^2-198m+817)+\sum_{m=0}^{7}(12m^2-190m+752)=8037$

Còn nếu HỘP NÀO CŨNG CÓ BI thì đáp án là $\sum_{m=1}^{8}(12m^2-206m+884)+\sum_{m=0}^{8}(12m^2-198m+817)+\sum_{m=0}^{7}(12m^2-190m+752)=7153$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-11-2022 - 15:09

[Nobodyv3]

3/ Đặt :
$x_1=z_1\\
x_2=z_1+z_2\\
x_3=z_1+z_2+z_3\\
x_4=z_1+z_2+z_3+z_4$
thì :
$\begin {cases }
x_1+x_2+x_3+x_4=100\\
x_i\geq 1
\end{cases}\Longrightarrow
\begin {cases }
x_1+x_2+x_3+x_4=90\\
x_i\geq 0
\end{cases} \Longrightarrow \begin {cases }
4z_1+3z_2+2z_3+z_4=90\\
z_i\geq 0
\end{cases}$
và hàm sinh :
$f(z)=\frac{1}{(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)}$
Nhận thấy các lũy thừa của $z$ là ước của 12 nên :
$f(z)=\frac{A}{(1-z^{12})^4}=A\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+3}{3}z^{12k}$
trong đó :
$A=(1+z^4+z^8)(1+z^3+z^6+z^9)(1+z^2+...+z^8+z^{10} )(1+
z+z^2+...+ z^{10}+z^{11})$
Ta cũng thấy rằng :
$90=12\cdot7+6=12\cdot6+18=12\cdot5+30$
Do đó ta tìm các hệ số của các số hạng chứa $z^6, z^{18}, z^{30}$ trong khai triển của $A$ , đó là các số hạng $9z^6, 48z^{18}, 15z^{30}.$
Vậy số nghiệm thỏa yêu cầu là :
$9\binom{7+3}{3}+48\binom{6+3}{3}+15\binom{5+3}{3}=\boldsymbol {5952}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 22-11-2022 - 20:50

[Nobodyv3]

2/ Gọi $z_1, z_2, z_3, z_4$ là số bi trong hộp ($z_i\geq 0$) với $z_1\leq  z_2\leq  z_3\leq  z_4\Longrightarrow z_1+  z_2+  z_3+ z_4 =100.$   $(1)$
Với $x_i\geq 0$, đặt :
$z_1=x_1\\
z_2=z_1+x_2=x_1+x_2\\
z_3=z_2+x_3=x_1+x_2+x_3\\
z_4=z_3+x_4=x_1+x_2+x_3+x_4$
$(1)\Longrightarrow 4x_1+3x_2+2x_3+x_4=100 $
và hàm sinh :
$f(x)=\frac {1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}$
Tiến hành tách phân thức ta được :
$\begin {align*}
f(x)&=\frac{1}{9}(1-x^2)(1-x^3)^{-1}\\
&+\frac{1}{8}\left ( 1-(-x^2) \right )^{-1}\\
&-\frac{1}{288}(68x^3-263x^2+358x-175)(1-x)^{-4}\\
&+\frac{1}{32}(4x+5)(1+x)^{-2}\\
\Longrightarrow [x^{100}]f(x)&=0+\frac{1}{8}(-1)^{50}\\
&-\frac{1}{288}\left [ 68\binom{100}{3}-263\binom{101}{3}+358\binom{102}{3}-175\binom{103}{3}\right]\\
&+ \frac{1}{32}\left [4(99+1)(-1)^{99}+5(100+1)(-1)^{100}\right]=\boldsymbol {8037}
\end{align*}$

@chanhquocnghiem:Em xem đi xem lại không biết nhầm chỗ nào mà kết quả không khớp với kết quả của anh, anh check lại giúp em nhé.

[Nobodyv3]

2/
$\blacksquare $ Xét trường hợp HỘP NÀO CŨNG CÓ BI:
Lúc này ta có $1\leq z_1\leq  z_2\leq  z_3\leq  z_4\Longrightarrow 4x_1+3x_2+2x_3+x_4=100 $
và hàm sinh :
$f(x)=\frac {x^4}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}$
Tiến hành tách phân thức ta được :
$\begin {align*}
f(x)&=\frac{1}{32}\frac{1}{(1+x)^2}-\frac{13}{288}\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{24}\frac{1}{(1-x)^3}\\
&+\frac{1}{24}\frac{1}{(1-x)^4}+\frac{1}{8}\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{9}\frac{1-x}{1-x^3}\\
\Longrightarrow [x^{100}]f(x)&=\frac{1}{32}.101-\frac{13}{288}.101-\frac{1}{24}.51.101\\
&+\frac{1}{24}.176851+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\\
&=\frac{1}{288}\left ( 909-1313-61812+2122212+36+32 \right )\\
&=\boldsymbol {7153}$
======
$\Longrightarrow [x^{100}]f(x)=\frac{1}{32}.101-\frac{13}{288}.101-\frac{1}{24}.51.101\\
+\frac{1}{24}.176851+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\\
=\frac{1}{288}\left ( 909-1313-61812+2122212+36+32 \right )\\
=\boldsymbol {7153}$

[chanhquocnghiem]

@chanhquocnghiem:Em xem đi xem lại không biết nhầm chỗ nào mà kết quả không khớp với kết quả của anh, anh check lại giúp em nhé.

Sorry, là do mình nhầm (do máy tính của mình quên chưa xóa bộ nhớ). Đã sửa lại ở trên.