Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít
Bắt đầu bởi toanhoc9, 22-11-2022 - 12:56
#2
Đã gửi 04-12-2022 - 09:36
nhungvienkimcuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 675 Bài viết
Thiếu úy
Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
Gọi độ dài bốn cạnh đó là $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$. Giả sử không có hai cạnh nào bằng nào nên ta có thể sắp xếp $x_1<x_2<x_3<x_4$. Đặt
\[X=x_1+x_2+x_3+x_4.\]
Sử dụng bất đẳng thức tam giác, chứng minh được $x_1+x_2+x_3>x_4\implies X>2x_4$. Ngoài ra dễ thấy $X<4x_4$, mà $X$ là bội của $x_4$ nên $X=3x_4$. Vì $X$ cũng là bội của $x_3,x_2$ nên tồn tại các số nguyên dương $a,b$ sao cho
\[3x_4=X=ax_3=bx_2.\]
Do $x_4>x_3>x_2$ nên $3<a<b$, dẫn tới $a\ge 4$ và $b\ge 5$. Ta có
\[3X=3x_4+ax_3+bx_2\iff 3x_1=(a-3)x_3+(b-3)x_2\ge x_3+2x_2.\]
Điều này mâu thuẫn với $3x_1<x_3+2x_2$.
- perfectstrong, Hoang72, toanhoc9 và 1 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em 
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh 
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
