Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] Mỗi ngày hai bài toán tổ hợp

th

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 32 trả lời

#21 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1753 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 09-07-2020 - 07:57

Lời giải bài 11: Gọi $x_i$ là số số $1$ ở hàng thứ $i$. Ta cần tìm max $S$ với $S=\sum\limits_{i=1}^{n^2+n+1}x_i$.

Gọi tập $M$ gồm các cặp $(k;l)$ mà $1\le k<l\le n^2+n+1$, ta có $|M|=C_{n^2+n+1}^{2}$. (Trong đó $C_{b}^{a}=\frac{b!}{a!(b-a)!}$)

Với mỗi $i=1,2,...,n^2+n+1$, ta xét tập $M_i$ gồm các cặp $(k;l)$ mà hai ô giao ở cột $k$ và cột $l$ với hàng thứ $i$ đều chứa số $1$. Ta có $|M_i|=C_{x_i}^{2}=\frac{x_i(x_i-1)}{2}$.

Vì không có $4$ ô ghi số $1$ là đỉnh của hình chữ nhật nên $M_i\cap M_j=\varnothing \forall i\ne j$.

Do đó $\sum\limits_{i=1}^{n^2+n+1}|M_i|\le |M|$.

Hay $\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i^2-x_i)\le \frac{(n^2+n)(n^2+n+1)}{2}\iff \sum\limits_{i=1}^{n^2+n+1}x_i^2-\sum\limits_{i=1}^{n^2+n+1}x_i\le (n^2+n)(n^2+n+1)$

Mặt khác $\sum\limits_{i=1}^{n^2+n+1}x_i^2\ge \frac{1}{n^2+n+1}(\sum\limits_{i=1}^{n^2+n+1}x_i)^2$

nên ta có: $\frac{1}{n^2+n+1}S^2-S\le (n^2+n)(n^2+n+1)\iff S^2-(n^2+n+1)S-(n^2+n)(n^2+n+1)^2\le 0$

$\implies S\le (n+1)(n^2+n+1)$. (Với $S=\sum\limits_{i=1}^{n^2+n+1}x_i$)

Đẳng thức xảy ra khi $x_1=x_2=...=x_{n^2+n+1}=n+1$.

Vậy có nhiều nhất $(n+1)(n^2+n+1)$ số $1$ được ghi lên bảng.

Lời giải bài 12: Bài toán này chính là Định lý EGZ (Erdos-Ginzburg-Ziv), 

Ta gọi mệnh đề ở đề bài là $A(n)$. Trước hết ta chứng minh rằng nếu $A(m),A(n)$ đúng thì $A(mn)$ cũng đúng. (Dành cho bạn đọc). Từ đây, bài toán quy về chứng minh $A(p)$ với $p$ là số nguyên tố.

Xét $E=\left\{a_1,a_2,...,a_{2p-1}\right\}$. Giả sử ngược lại rằng với mọi bộ $a_{i1},...,a_{ip}$ lấy từ $E$ ta có $a_{i1}+...+a_{ip}$ không chia hết cho $p$. Khi đó, theo định lý nhỏ Fermat ,ta có: $(a_{i1}+...+a_{ip})^{p-1}\equiv 1(\text{ mod }p)$.

Từ đó suy ra $\sum(a_{i1}+...+a_{ip})^{p-1}\equiv C_{2p-1}^{p}(\text{ mod }p)$, trong đó tổng tính theo tất cả các tập con $p$ phần tử của $E$.

Mặt khác, ta đếm số lần xuất hiện của các đơn thức $a_{j1}^{\alpha_1}...a_{jk}^{\alpha_k}$ với $\alpha_1+...+\alpha_k=p-1$ trong tổng ở vế trái.

Có $C_{2p-1}^{k}C_{2p-k-1}^{p-k}$ tổng dạng $a_{i1}+...+a_{ip}$ có chứa $a_{j1},...,a_{jk}$. Trong mỗi tổng này, đơn thức $a_{j1}^{\alpha_1}...a_{jk}^{\alpha_k}$ xuất hiện với hệ số $\frac{(p-1)!}{\alpha_1!...\alpha_k!}$. Như vậy, đơn thức $a_{j1}^{\alpha_1}...a_{jk}^{\alpha_k}$ sẽ xuất hiện trong tổng vế trái với hệ số $C_{2p-1}^{k}C_{2p-k-1}^{p-k}.\frac{(p-1)!}{\alpha_1!...\alpha_k!}=\frac{(2p-1)!}{k!(p-k)!(p-1)!}.\frac{(p-1)!}{\alpha_1!...\alpha_k!}$

Do $1\le k\le p-1$ nên hệ số này luôn chia hết cho $p$, suy ra tổng vế trái chia hết cho $p$. Mặt khác $C_{2p-1}^{p}=\frac{(2p-1)!}{p!(p-1)!}=\frac{(p+1)...(2p-1)}{(p-1)!}$ không chia hết cho $p$. Mâu thuẩn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 09-07-2020 - 07:57

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến

Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che


#22 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1753 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 09-07-2020 - 08:05

Bài 13: Cho chín đường cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng $\frac{2}{3}$. Chứng minh rằng, có ít nhất ba đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm

Bài 14: Trên bảng có $4$ số $3,4,5,6$. Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa đi hai số $x,y$ có trên bảng và thay bằng $x+y+\sqrt{x^2+y^2}$ và $x+y-\sqrt{x^2+y^2}$. Hỏi sau một số hữu hạn bước thực hiện, trên bảng có thể xuất hiện một số nhỏ hơn $1$ được không ?


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến

Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che


#23 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Somewhere
  • Sở thích:

Đã gửi 09-07-2020 - 16:06

Bài 13: Cho chín đường cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng $\frac{2}{3}$. Chứng minh rằng, có ít nhất ba đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm

post-188080-0-83160300-1592912390.png

Nguồn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tan Thuy Hoang: 09-07-2020 - 16:07


#24 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Somewhere
  • Sở thích:

Đã gửi 09-07-2020 - 16:13

Quất luôn bài này:

 

Bài 14: Trên bảng có $4$ số $3,4,5,6$. Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa đi hai số $x,y$ có trên bảng và thay bằng $x+y+\sqrt{x^2+y^2}$ và $x+y-\sqrt{x^2+y^2}$. Hỏi sau một số hữu hạn bước thực hiện, trên bảng có thể xuất hiện một số nhỏ hơn $1$ được không ?

Ta có: $\frac{1}{x+y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{1}{x+y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Do đó tổng các nghịch đảo của các số trên bảng ở bất kì lúc nào chính bằng: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}+\frac{9}{20}<1$

Nếu trên bảng xuất hiện một số nhỏ hơn 1 thì rõ ràng nghịch đảo của nó lớn hơn 1, vô lí vì tổng các nghịch đảo của các số trên bảng mọi lúc đều nhỏ hơn 1.

Vậy, sau một số hữu hạn bước thực hiện, trên bảng không thể xuất hiện một số nhỏ hơn 1.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tan Thuy Hoang: 09-07-2020 - 16:14


#25 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1753 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 10-07-2020 - 10:09

Lời giải bài 13: Lời giải giống bạn Tan Thuy Hoang. Mình chỉ viết lại , để nhỡ dữ liệu bị mất thì ảnh mất luôn !

Các đường thẳng đã cho không thể cắt các cạnh kề nhau của hình vuông, bởi vì nếu thế chúng chia hình vuông thành một tam giác và ngũ giác. (Chứ không phải chia hình vuông thành hai tứ giác).

oki10.png

Vì lẽ đó, mọi đường thẳng (trong số chín đường thẳng) đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và dĩ nhiên không đi qua một đỉnh nào của hình vuông cả.

Giả sử một đường thẳng cắt hai cạnh đối $BC$ và $AD$ tại các điêm $M$ và $N$. Ta có: $\frac{S_{ABMN}}{S_{MCDN}}=\frac{2}{3}\iff \frac{\frac{1}{2}AB(MB+AN)}{\frac{1}{2}CD(MC+DN)}=\frac{2}{3}\iff \frac{EJ}{JF}=\frac{2}{3}$.

(Ở đây $E$ và $F$ là các trung điểm của $AB$ và $CD$ tương ứng).

oki11.png

Gọi $E,F,P,Q$ tương ứng là các điểm sao cho $J_1,J_2$ nằm trên $EF$;$J_3,J_4$ nằm trên $PQ$ và thỏa mãn: $\frac{EJ_1}{J_1F}=\frac{FJ_2}{J_2E}=\frac{PJ_3}{J_3Q}=\frac{QJ_4}{J_4P}=\frac{2}{3}$.

Khi đó từ lập luận trên ta suy ra mỗi đường thẳng có tính chất thỏa mãn yêu cầu đề bài phải đi qua một trong bốn điểm $J_1,J_2,J_3,J_4$ nói trên.

oki12.png

Vì có chín đường thẳng, nên theo nguyên lý Dirichlet phải tồn tại ít nhất một trong bốn điểm $J_1,J_2,J_3,J_4$ sao cho nó có ít nhất ba trong chín đường thẳng đã cho đi qua. Vậy có ít nhất ba đường thẳng trong số chín đường thẳng đã cho đi qua một điểm.

Lời giải bài 14: Đặt $a=x+y+\sqrt{x^2+y^2},b=x+y-\sqrt{x^2+y^2}$. Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{x+y+\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{1}{x+y-\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{2(x+y)}{(x+y)^2-(x^2+y^2)}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.

Như vậy, qua các phép biến đổi, tổng nghịch đảo các số trên bảng không thay đổi. Vì $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{19}{20}<1$ nên qua các lần biến đổi, tổng nghịch đảo các số trên bảng vẫn nhỏ hơn $1$. Do các số trên bảng qua các phép biến đổi đều dương nên từ đây suy ra không có số nào nhỏ hơn 1.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 10-07-2020 - 11:05

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến

Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che


#26 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1753 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 10-07-2020 - 11:14

Bài 15: Cho một nhóm $20$ người bất kỳ. Chứng minh rằng luôn có một nhóm con $4$ người quen biết lẫn nhau hoặc không quen biết lẫn nhau.

Bài 16: Trên bàn có một đống bi gồm $14$ viên. Hai em Trung , Việt thực hiện trò chơi bốc bị theo các nguyên tắc sau:

1) Người đi đầu được xác định bằng gieo đồng tiền.

2) Mỗi người đến lượt phải bốc ít nhất một viên bi và không được bốc quá 3 viên bi.

3) Người bốc được viên bi cuối cùng sẽ thằng cuộc.

Hỏi: Nếu em Trung đi đầu, thì em phải có cách bốc bi như thế nào để thắng cuộc, tức bốc được viên bi cuối cùng ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 10-07-2020 - 11:15

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến

Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che


#27 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1k24-THPT chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:sunny day

Đã gửi 10-07-2020 - 17:58

Câu 16:

Lúc đầu em Trung sẽ bốc 2 viên bi.Số bi còn lại là 12=4x3.

Khi đó nếu em Việt bốc k viên bi thì en Trung bốc $(4-k)$ viên bi

Sau mỗi 2 lượt thì số bi mất đi 4 viên.Dễ thầy em Trung sẽ thắng


 You only live once, but if you do it right, once is enough.


#28 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Somewhere
  • Sở thích:

Đã gửi 10-07-2020 - 19:13

Bài 16: Trên bàn có một đống bi gồm $14$ viên. Hai em Trung , Việt thực hiện trò chơi bốc bị theo các nguyên tắc sau:

1) Người đi đầu được xác định bằng gieo đồng tiền.

2) Mỗi người đến lượt phải bốc ít nhất một viên bi và không được bốc quá 3 viên bi.

3) Người bốc được viên bi cuối cùng sẽ thằng cuộc.

Hỏi: Nếu em Trung đi đầu, thì em phải có cách bốc bi như thế nào để thắng cuộc, tức bốc được viên bi cuối cùng ?

Ta thấy nếu bạn Trung bốc 2 viên ở lần đầu tiên thì bạn Trung có cách chơi thắng (chứng minh như bạn quocthai0974767675).

Xét 2 trường hợp:

+) Bạn Trung bốc 1 viên ở lần đầu tiên: Khi đó bạn Việt bốc 1 viên ở lượt tiếp theo, và sau mỗi lần bạn Trung bốc k viên (k = 1, 2, 3) thì bạn Việt bốc 4 - k viên. Bạn Việt bốc được viên cuối cùng và giành chiến thắng.

+) Bạn Trung bốc 3 viên ở lần đầu tiên: Khi đó bạn Việt bốc 3 viên ở lượt tiếp theo, và làm cách tương tự như trường hợp trên bạn Việt sẽ giành chiến thắng.

Vậy bạn Trung phải bốc 2 viên ở lần đầu tiên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tan Thuy Hoang: 10-07-2020 - 19:15


#29 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1753 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 12-07-2020 - 11:28

Bổ đề bài 15: Cho một nhóm gồm $10$ người bất kỳ. Chứng minh rằng luôn có a) và b) biết:

a) Một nhóm con $3$ người không quen biết lẫn nhau hoặc một nhóm con $4$ người quen biết lẫn nhau.

b) Một nhóm con $3$ người quen biết lẫn nhau hoặc một nhóm con $4$ người không quen biết lẫn nhau.

Lời giải bổ đề: Giả sử $A$ là một trong $10$ người đó, còn $9$ người ngồi vào $2$ phòng, phòng $Y$ gồm những người quen $A$, phòng $Z$ gồm những người không quen $A$. Người $A$ không vào một trong hai phòng đó.

a) Ta có phong $Y$ có ít nhất $6$ người hoặc phòng $Z$ có ít nhất $4$ người.

(i) Giả sử phòng $Y$ có ít nhất $6$ người , theo bài toán 10 , trong phòng $Y$ luôn tìm được nhóm $3$ người quen biết lẫn nhau hoặc $3$ người không quen biết lẫn nhau. $A$ cùng với nhóm $3$ người quen biết lẫn nhau tạo thành nhóm $4$ người quen biết lẫn nhau.

(ii) Giả sử phòng $Z$ có ít nhất $4$ người. Khi đó hoặc $4$ người quen biết lẫn nhau hoặc có ít nhất $2$ người không quen biết lẫn nhau. Giả sử là $B,C$. Trong trường hợp đầu ta có nhóm $4$ người quen biết lẫn nhau. Trong trường hợp sau $A,B,C$ là nhóm $3$ người không quen biết lẫn nhau. Yêu cầu bài toán được thỏa mãn.

b) Tương tự phòng $Z$ có ít nhất $6$ người hoặc phòng $Y$ có ít nhất $4$ người. Ta chỉ cần đổi hai khái niệm "quen biết lẫn nhau" và "không quen biết lẫn nhau" thì chỉ ra được những nhóm người thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Lời giải bài 15: Giả sử $A$ là một trong $20$ người đó, phòng $Y$ gồm những người quen $A$, phòng $Z$ gồm những người không quen $A$. Người $A$ không ngồi trong hai phòng đó. Vậy thì hoặc phòng $Y$ có ít nhất $10$ người, hoặc phòng $Z$ có ít nhất $10$ người.

i) Giả sử phòng $Y$ có ít nhất $10$ người theo bổ đề trên, phòng $Y$ có $3$ người quen lẫn nhau hoặc $4$ người không quen biết lẫn nhau. $A$ cùng nhóm với $3$ người quen biết lẫn nhau có thể tạo thành nhóm $4$ người quen biết lẫn nhau. Yêu cầu bài toán được thỏa mãn.

ii) Giả sử phòng $Z$ có ít nhất $10$ người. Tương tự như trường hợp $i$ ta chỉ cần đổi khái niệm "quen biết lẫn nhau" với "không quen biết lẫn nhau" thì chỉ ra được những nhóm người thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải bài 16: Vì $14$ chia cho $4$ còn dư $2$, nên với tư cách người đi đầu em Trung bốc $2$ viên bi, để số bi còn lại là $12$ viên.

Tiếp theo giả sử em Việt bốc $3$ viên, nên trên bàn còn $9$ viên bi

Đến lượt mình em Trung bốc $1$ viên bi, để số bi còn lại là $8$ viên.

Đến lượt mình, giả sử em Việt bốc $2$ viên bi, nên trên bàn còn $6$ viên bi

Đến lượt mình, em Trung phải bốc $2$ viên bi, để số bi còn lại là $4$ viên.

Lần cuối cùng giả sử em Việt bốc $1$ viên, nên số bi còn lại là $3$ viên.

Đến lượt mình đồng thời là người bốc cuối cùng em Trung bốc tất cả $3$ viên bi còn lại và thắng cuộc.

Bài toán gốc: Giả sử $m,n$ là hai số tự nhiên $m<n$ và $n$ không chia hết cho $m+1$.

Trên bàn có một đống gồm $n$ vật. Hai em $A,B$ thực hiện trò chơi bốc các vật theo các nguyên tắc sau:

1) Người đi đầu được xác định bằng gieo đồng tiền

2) Mỗi người đến lượt phải bốc ít nhất một vật và không được bốc quá $m$ vật.

3) Người bốc được vật cuối cùng sẽ thắng cuộc.

Nếu em $A$ được đi đầu, thì em phải có cách bốc các vật như thế nào để đảm bảo thắng cuộc, tức bốc được vật cuối cùng.

Có hai cách đưa ra thuật toán bốc các vật để em $A$ chiến thắng. Đó là phương pháp đồng dư và phương pháp đồ thị.

Nhưng ở đây mình chỉ nêu phương pháp đồng dư, còn phương pháp đồ thị sẽ được giới thiệu ở những bài tiếp theo.

- Phương pháp dồng dư:

+ Thuật toán được hình thành dựa trên cơ sở tính đồng dư theo modul $(m+1)$

1) Vì $n$ không chia hết cho $m+1$, nên khi chia $n$ cho $m+1$ nhận được số dư $r(0<r\le m)$. Bởi vậy tại bước xuất phát em $A$ có thể bốc $r$ vật, để trên bàn còn lại số lượng vật bằng nguyên lần của $m+1$.

2) Tại các bước tiếp theo, nếu đến lượt mình, em $B$ bốc $s(1\le s\le m)$ vật, thì ngay sau đó em $A$ bốc $(m+1-s)$ vật, nên trên bàn số lượng vật vẫn là nguyên lần của $m+1$.

3) Trước khi em $B$ bốc lần cuối cùng, trên bàn còn đúng $m+1$ vật, nhưng em $B$ phải bốc ít nhất $1$ vật và không được bốc quá $m$ vật, nên em $A$ có quyền bốc hết số vật còn lại này và thắng cuộc.

P/s: Bài toán 16 là trường hợp riêng của bài này với $n=14$ và $m=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 12-07-2020 - 11:29

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến

Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che


#30 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1753 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 12-07-2020 - 11:43

Bài 17: Trong mặt phẳng cho $n$ hình lồi $n\ge 4$. Biết rằng giao của ba hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng. Khi đó giao của $n$ hình lồi cũng khác rỗng.

Bài 18: Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho nếu $a_1,a_2,...,a_n$ là $n$ số phân biệt tùy ý được chọn từ tập $X=\left\{1,2,...,17\right\}$ ta luôn tìm được số nguyên dương $k$ sao cho phương trình $a_i-a_j$ có ít nhất $k$ nghiệm.


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến

Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che


#31 bachthaison

bachthaison

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Vĩnh Yên - Vĩnh Yên - Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Số học, đại số, hình học

Đã gửi 15-07-2020 - 11:31

Bài 17: Trong mặt phẳng cho $n$ hình lồi $n\ge 4$. Biết rằng giao của ba hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng. Khi đó giao của $n$ hình lồi cũng khác rỗng.

Bài 18: Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho nếu $a_1,a_2,...,a_n$ là $n$ số phân biệt tùy ý được chọn từ tập $X=\left\{1,2,...,17\right\}$ ta luôn tìm được số nguyên dương $k$ sao cho phương trình $a_i-a_j$ có ít nhất $k$ nghiệm.

Chỗ $a_{i}-a_{j}$ hình như thiếu vế phải


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachthaison: 15-07-2020 - 11:32

Bạn chỉ cần ngồi không là bạn cũng có tiền, từ 1-2 người, chúng ta sẽ có cả 1 hệ thống!


#32 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:thích bđt và số học

Đã gửi 27-07-2020 - 21:35

Bài 19: Trên 1 đường tròn lấy 2024 điểm phân biệt, các điểm này được tô màu xanh đỏ xen kẽ nhau . Tại mỗi điểm người ta ghi q số thực khác 0,1 sao cho số ghi ở mỗi điểm màu xanh bằng tổng hai số ghi trên điểm màu đỏ kề nó ,sô trên điểm màu đỏ bằng tích trên hai số trên điểm màu xanh kề đó.Tìm tổng các số được ghi trên 2024 điểm đó

#33 1232eeeferghrekt

1232eeeferghrekt

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 31-07-2020 - 22:47

4YfNwVG.jpg







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: th

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh